224 第8章 図形の性質 101 空間図形 (2) 半径rの球面上に4点A, B, C, D がある. 四面体 ABCD の各辺の長さ を満たしている. このとき, は, AB=√3, AC=AD=BC=BD=CD=2 rの値を求めよ. THE (東大)

解答 0から底面BCD に引いた垂線と底面の交点をH 四面体 ABCD の外接球の中心を0とする. とすると,Hは三角形 BCD の外心である. また, 三角形 BCD は正三角形であるから,外心 Hは重心と一致する。 したがって,線分 CD の中点をMとすると,Hは 線分BM を 2:1に内分する点である。 平面 AMB は底面 BCD に垂直であるから,外接 球の中心Oは平面AMB上にあり, OA=OB (=r) であるから, 平面 AMB 上において, 0 は線分AB の垂直二等分線上にある. ここで, AM は1辺の長さ2の正三角形ACD の 中線であるから, AM=√3 同様に, BM=√3 したがって, 三角形 AMBは正三角形であるからH 線分ABの垂直二等分線はMを通る. OH= -MH 29tAdr 1 ・ 1/13 / BM are 3 1 - 3 r=0B=√OH²+HB2 2 2 2 √3 = ✓ (1) +(3/3) 3 √13 3 演習問題 17/05 = ←HB= TOCH Mata M HO H A O M H B 三角形 OMHは, OH OM:MH=1:2:3 の直角三角形 HMBを1:2に内分する 点 BM=√3 を代入 B=/BM=2/3/3 √√3 B NSDER 面とする四面体OABCを考える