物質の諸々の特性は一般に線形(比例)関係にありません．
フックの法則も変位が大きい時は成り立たず，
変位が小さい場合の近似式です．
https://knowledge.autodesk.com/ja/support/inventor/getting-started/caas/CloudHelp/cloudhelp/2020/JPN/NINCAD-SelfTraining/files/GUID-589E8565-42AF-497B-8FDD-541C954A01F0-htm.html
を流し読みしてみてください．
σ = Eε
において，E を k，ε を x と読み替えてください．
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温度を ⊿T だけ上げるのに必要な熱量を算出する式
Q = C⊿T
も ⊿T の小さな変化幅では熱容量 C が一定であるとした近似です．
一般には熱容量 C は温度に依存し，
Q =∫(T0→T)C(t)dt
で計算します．(⊿T = T - T0)
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微分を用いた関数の近似式は数学でもう習っているでしょうか？
lim(x→a) {f(x) - f(a)}/(x-a) = f'(a)
より，x が十分 a に近ければ
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + (誤差)
において(誤差)は十分小さく，
f(x) の値を f(a) + f'(a)(x - a)
で評価することは良い近似になっていそうです．
良い近似になっていることを
f(x) ≒ f(a) + f'(a)(x - a)
と書くことにします．
これを使って例に挙げた近似を導出したいと思います．
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バネによる力 F が変位 x に依存するとして F(x) とすると，
x が十分に小さい時
F(x) ≒ F(0) + F'(0)x
です．ここで変位がない時はバネによる力はありませんので F(0) = 0 として
F(x) ≒ F'(0)x
です．F'(0) = k としてフックの法則を得ます．
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温度 T における物体の熱量を Q(T) と書くと，
Q(T) ≒ Q(T0) + Q'(T0)(T - T0)
です．ここで，Q(T0) を基準にどれだけ熱量が増えたかを測るので Q(T0) = 0 とします．
また
Q(T) =∫(T0→T)C(t)dt
より，
Q'(T) = C(T)
です．ここから
Q(T) ≒ Q(T0) + Q'(T0)(T - T0) = C(T0)⊿T
を得ます．
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写真の問題を考えます．
固体の長さ L が温度 t に依存するとして L(t) と書きます．
近似式すると，
L(t) ≒ L(0) + L'(0)t
です．L(0) = L0，L'(0) = L0α とおいて，
L(t) ≒ L0(1 + αt)
を得ます．
次にこれが良い近似となっている条件を考えます．
f(x) ≒ f(a) + f'(a)(x - a)
において，右辺第二項は f(a) からのずれを「補正」していると考えられますので，
補正が小さいほど良い近似となっていそうです．
よって，
|f(a)| >> |f'(a)(x - a)|
が良い近似となっているかの一つの基準となります．
(x >> y は y が x より十分小さい，の意味)
今回の式に当てはめると
L0 >> L0αt
より
t << 1/α
が良い近似となっているための条件です．
2枚目の写真より α は極めて小さいので，1/α は極めて大きいです．
したがって t はある程度大きな値を取っても近似の精度を保つことができ，
近似式中で α は一定です．