分詞構文では、前の文と後ろの文で主語が異なる場合、前の文にはその文の主語を必ず書くという決まりがあります。逆に主語が同じであれば入れる必要はないです。
この場合、

前の文: Since it started raining yesterday, 主語はit
後ろの文:the picnic was postponed. 主語はthe picnic

です。もしこのitをいれずに分詞構文を作ると
①Starting raining yesterday, the picnic was postponed.
となりますが、前の文に主語は明示されていない、すなわち後ろの文と主語は同じだということになり、

the picnic started raining yesterday（？）

という奇妙な意味の文章になってしまいます。なので、「前後で主語が変わりますよー」ということを示すために、itを残す必要があります！