なぜイオンになると原子は安定するのかというのは原子の電子配置が関係しています。
一般的に希ガスと呼ばれる第18族原子は周期表の中で最も安定した形､いわゆる原子にとって最も理想的な電子配置となります。原子はそれになりたいという性質があるため電子の放出､受け取りを行いイオンとなります。また、なぜ安定させたいかというのは安定させた方が原子にとって存在しやすいからだったと思います。
当方､あまり自信があるわけではないのでもし、教科書や参考書と違っていた場合はそれらの教材のが正しいのでそちらにしたがってください。