8 数列の極限/漸化式- ーズく0<rとするとき,次の条件によって定められる数列(a,}がある。 1+am 0 an+1= a=CoS- 2 5 0 が成り立つことを示せ。 2" (1) a=Cos 0 0 Xcos 2 0 ×cos ×cos 0 ×…………×cos 23 0 -=sin0 (n=1, 2, 3, ……) 2" (2) 2"×sin 2* が成り立つことを証明せよ。 (3) b=a×ag×asX…Xan (n=1, 2, 3, …) とおく. 0キ0のとき, limb,を 0を用いて 表せ、 (新潟大·理,医,歯) 半角の公式を連想する 本間は三角関数がらみである。そこで与えられた漸化式を三角関数の公式 1+cos0 と関連させて眺めよう.すると, cos の公式を連想するのは難しくはないだろう。 2 0-ロ ■解答 (1)数学的帰納法で示す。 n=1のとき成り立つ。 n=kで成り立つとすると, 答 1+の)- 0 1+cos 24 0 a+1= 2 cos2 2*+1 cos? 2 2 0 ;. as+1=COS 2k+1 0 全x =|X|に注意して「を外 す。 0 -<-であるから,cos 2*+1 24+1 4 よって, n=k+1でも成り立つから,数学的帰納法により証明された。 (2)与式の左辺を C,とおくと, St立さもさo 【+チリニ ○(2)も数学的帰納法で示すこと ができる。 ふた計(8) 0 0 ×cos 0 ×…………×cos 0 X cos Cy+1=2"×|2sin -coS 2ガ+1 2ガ+1 2? 2* +1 0 = Cm ×………Xcos 2 10 全2sin 0 =sin 0 0 -× cos 2* 0 Xcos 22 2カ+1 COS 24+1 =2"×sin 2" 2 (2sinacosa=sin2α) 0 0 sin 2 Cyは一定で, cn=C=2cos -=sin@ 2 0 (3) C=2"sin- a1@2"………*." 2" 0 sin0=2"sin bn 2 0 10 (n→8) 2* IC1+x 0- 0/2 sin0 sin 0 mil lim b,= lim ガー0 sin(0/2") 0 0 間 2