【8】 xy平面上において, *軸上に原点0と異なる位置にある点Aをとり, 点Aを中心とした半径OAの円をかく。また,この円の外側のx軸上に 点B, y軸上に点Cを, 線分BCがこの円と異なる2点で交わるようにそ れぞれとり,線分BCcと円との交点を, 点Bに近いほうからP, Qとする。 いま, BP=PQ=QCとなるとき, OA:ABを最も簡単な整数の比で表 すと[ ]である。

く解説〉aを正の実数としA(a, 0)とすると円の方程式は (x-a)+y=a° ?-2ax+y=0 またBP=PQ=QCより, れを正の実数としてB, P, Qのx座標をそれぞ れ3n, 2n, nとおく。BCを通る直線の傾きをMとすると,直線の方程 式は ソ=m(x-3n) ソ=mx-3mn この式を円の方程式に代入すると -2ax+(mxー3mn)=0

(1+m')r*-2(a+3m'n)x+9m'n?=0 円と直線の交点のx座標を a, βとすると, P, Qは交点なのでa=n+2n=3n, β=n·2n=2n° また解と係数の関係より 2(a+3m'n) 1+m a+β= =3n …(1) ニ 9m'n a B 三 1+m =2n?