重要 例題 )正八角形 A1A2…… As の頂点を結んでできる三角形の個数を求めよ。 2)(1)の三角形で, 正八角形と1辺あるいは2辺を共有する三角形の個数を求め |A よ。 3)正n角形 A1A2……Anの頂点を結んでできる三角形のうち, 正n角形と辺 を共有しない三角形の個数を求めよ。ただしn25とする。 [類法政大,麻布大) T人 L7 (1) 三角形は,同じ直線上にない3点で1つできる(前ページの検討参照)。 (2)[1] 正八角形と1辺だけを共有する三角形 →共有する辺の両端の点と,その辺の両隣の2点を除く点が頂点となる。 [2] 正八角形と2辺を共有する三角形→隣り合う2辺でできる。 (3) の (1),(2), (3) の問題 (1), (2) は (3) のヒント (全体)-(正n角形と辺を共有する三角形)で計算。 さtiで 基本 24 1章 5 組 師を付け 人除 (8) マ人も せ 答 正八角形の8つの頂点から, 3つの頂点を選んで結べば, 1 の三角形ができるから, 求める個数は 8.7·6 A。 8Cg= =56 (個) 3.2·1 ] 正八角形と1辺だけを共有する三角形は,各辺に対 し,それに対する頂点として, 8つの頂点のうち, 辺の両端 および両隣の2項頂点以外の頂点を選べるから, 求める個数 には | 正八角形と2辺を共有する三角形は,隣り合う2辺で 頂点1つに三角形が1つ対 できる三角形であるから, 8個ある。 って,求める個数は 正n角形の頂点を結んでできる三角形は, 全部で,Cs 個あ そのうち,正n角形と1辺だけを共有する三角形は (*) (三角形の総数) =5のとき n(n-4) 個あり, 2辺を共有する三角形は n個 - (1辺だけを共有するもの) うから,正n角形と辺を共有しない三角形の個数は -(2辺を共有するもの) A。 A A。 A。 A。 (8-4)·8=32 (個) 応する。 32+8=40 (個) n(n-1)(n-2) 3.2-1 イ=(n-1)(n-2) -6(n-4)-6} ,Cg-n(n-4)-n= ーn(n-4)-n _1 -n(n-4)(nー5) (個) =n(n-9n+20) 6 円に内接するn角形F(n>4)の対角線の総数はア口本である。また, Fの頂 方?つからでキる三角形の総数は |個,Fの頂点4つからできる四角形の総