5次の図のように,線分 AB を直径とする円Oがある。円Oの周上に2点C, Dがあり、 AD=BC である。また,直線 ADと BCとの交点を E, 線分 AC とBDとの交点をFとする。 このとき,あとの各問いに答えなさい。(11 点) E て B A フニ 16- 4 2 /2 (1)、次の (ア) は,△ABD=△BACであることを証明したものである。 (ウ)」に,それぞれあてはまる適切なことがらを書き入れなさい。 〈証 明)AABD と △BAC において, 線分 AB は円 O の直径だから, ZADB=| (ア) D… 06=| 長さの等しい弧に対する円周角は等しいから, AD=BC より, ZABD= (イ) 共通な辺だから, AB=BA 0, 2, 3より, がそれぞれ等しいので △ABD= ABAC (2) △EABの△EDCであることを証明しなさい。 (3) OA=AD=2cm のとき, 次の各問いに答えなさい。 0 線分 ACの長さを求めなさい。 23 2 全FCD と △EDCの面積の比を,最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3)D(1)より, BC=AD=2cm また, AB=20A=4cm, ZACB=90° よって, ABACで, 三平方の定理より, AC"+BC'=AB° AC°+2°==4° AC°=12 AC>0より, AC=2V3cm 2 OD=OA=AD より, △DAO は正三角形だから, ZDAO=60° 同様に, ZCBO=60°がいえ るから,AEABは正三角形である。EA=AB=4cm, ED=EA-AD=4-2=2(cm)より, AEDC とAEAB の相似比は2:4=1:2だから, DC: AB=1:2 よって, DC//AB より, CF:FA=DC:AB=1:2であり,△FCDの面積をSとおくと, △DAC=3S また, ED:DA=2: 2=1:1だから, △EDC=ADAC=3S したがって, AFCD:AEDC=S: 3S=D1:3