〜しよう　　　　　 → Let's 〜
〜ないようにしよう → Let's not 〜

に関しては，理屈を理解するよりもこういうものだと覚える方が早いと思います。
notがLet'sと動詞の原形の間に入る理屈を一言で言えば｢原形不定詞の否定｣です。
いかにも難しそうですよね？
ので，気にしなくて大丈夫です🙆

動詞が2つある理屈にも，｢原形不定詞｣が絡みますので，あんまり気にしなくて大丈夫です。
参考までに，

　Let'swatch TV.
＝Let / us / watch TV
＝〜させる / 私たちに / テレビを見る
＝私たち(あなたと私)にテレビを見させなさい
＝テレビを見よう

という構造になっています。