日本語だけで考えるとbesides「〜に加えて」except 「〜を除いて」の両方合いそうですね…

exceptはbutと同じイメージを持ってもらえたらいいと思います。
(ニューホライズン英和辞典で調べてみると同:butと書いていました。一応写真で載せておきます。🙇‍♂️)

※あるサイトではbut notとイメージするとわかりやすいと書いているものもありました。

これをもとに考えてみると、

He has two other children besides Alan.

「彼はアランのほかに2人の子供がいる。」

→アランもいるし、加えて他に2人いる。
（アラン＋2人の計3人子どもがいる。）

という意味になりますね。

He has two other children except Alan.

日本語だけ見れば、
「彼はアランを除いて他に2人の子供がいる」と訳していけそうな感じもしますが、

He has two other children "except" Alan.
　　　　　　　　　　　　　　↓
He has two other children "but (not)" Alan.

で考えると、

「彼は他に2人の子どもがいる。しかし、アランは違う。」

となり、アランは彼の子どもではないことを意味してしまいます。

なのでおそらく②ではなく①が正解なのだと思います、間違ってたらすみません。他の方に新しい回答をもらってください。