「誰が置いた」のではなく、設置したのは鎌倉幕府です。

＊六波羅探題：鎌倉幕府が京都に設置した出先の役職。1221年（承久３）の承久の乱の際に、後鳥羽上皇軍を破って入京した幕府軍の大将の北条泰時と北条時房が六波羅に滞在して、乱後の政務処理や治安維持、公家政権との交渉にあたったのが始まり。原則として北方と南方の2名が任命されていたが、北方のみの場合もあった。探題の地位は北条氏により独占された。
（『岩波日本史辞典』）