rememberはto do もdoingも使えますが意味が異なります。基本的には不定詞は未来、動名詞は過去を表します。stopも同じです。stop to smoke for healthは健康のためにタバコをやめる(禁煙する)。stop smoking for healthは健康の為にタバコをやめた(禁煙した)。不定詞や動名詞で意味が異なる物はそんなに多くないのでネットで調べて覚えるといいですよ。
回答
doだと動詞が二つ続くのでおかしい
doingかto doの二択ですが、
この文はあなたは宿題をするのを覚えていなければなりませんという意味で、意味的にこれからのことなのでto doです。
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両方使えて意味が違う単語がたくさんあるんですね！
ちょっと調べて見ます！
ありがとうございます(≧▽≦)