117 Lv.★★★ 解答は186ページ x>0に対しf(x)= logx とする。 x Q(Q n=1, 2, …に対しS(x)の第n次導関数は,数列 {an}, {b»}を用い てfom(x) = antbnlogx と表されることを示し, am. bnに関する漸化 式を求めよ。 &) hn=2ーとおく。hnを用いて am bnの一般項を求めよ。 を k=1 (東京大)

(2)(1)で得た an. baに関する瀬化式を解けばよい。数列{bn}の一般項を求めることは 難しくないが、数列 {a.}の一般項を求めるのには少々工夫が必要である。hnが与えられて したがって、n22のとき,階差数列の和と一般項の関係より 題は48ペ よって,すべての自然数nについて cn=-haであるから 第13章 微分法· 積分法 (数学I) nyant1け 117 第n次導関数 Lv. ★★★ dese 第39回 ……… ージ をかけると (om)! この両辺に Ane nt) 考え方 On 1 n+1 用いるとよい。『m(x)をxで微分するとJ"(x) となることを利用し n! *an 大が必要である..。 *an= Cn とおくと n! Cn+1= Cーー1 ここで いることにも着目してほしい。 =-a=-1 n+1 また Process 解答 (1)数列{an}, {ba} を用いて Cn= Ci+ Sm(x)= Int bnlogx ス と表されることを数学的帰納法により示す。 =ーh。 (I)n=1のとき これは ci=-1をみたす。 (uilaとzを成生) 1.xーlogx·1 1-logx =ー S(x)= さ x" --l0g人 スト、 n! (ーh)%3 (-1)^"nlh, 圏 よって, a= 1, b,= -1とすると①が成り立つ。 (I)n=kのとき①が成り立つと仮定すると an= 新化式を解く (2)数列{b} の一般項は, 漸化式を順に適用することで f) su(x)= tbalogx これをとで微分すると (0nk0 の解説 bn=-nbm-1 =ーn.{-(n-1)}bm-2 De.xt+1-(ax+balogx)· (k+1)x* (x)を微分して漸化 4{ ca)a ent a. =(-1)"×n·(n-1).… 1 f~) s(x)= 式を求める ニー。 kt -laきりてある ー(k+1)as+bょー(k+1)b:logx と求めることができる。 Ji Curiに-(-リ よって, ak+1 = ー(k+1)ax+b» be+1= ー(k+1)b. とすると。 n=k+1のときも①は成り立つ。 (I), (Ⅱ)より, すべての自然数nについて数列{am}, {bn} を 用いてf"(x)を①のように表せる。 lvn :-(utりd e (ur)!とれると lami したって (証終) 1! 11 また Aaecin&@いて Car en とめしと ん! =ー(n+1)antba lba+1=ー(n+1)6m ただし, a=1, b=-1 (2) ba+1 = ー(n+1)bm, bi= -1より b,=(-1)"n! 答 核心は 答 he Cuti--Cn. ココ! すべての自然数について成り立つことの リ証明は数学的帰納法で h 1 6s比-/nty) したがって a ー1: (ゾ 。 186 187 第12章第1に章 |一| 第3章 |第第5章 一第6章7章 一 第8章 |第9 第10章

nt Ane (-リ 1-h) (- {-ha)- (-リ bm (ーリ) n (ーヴールんr