xy 平面上を動く点Pの時刻tにおける座標(x, y) が x=2cost+cos 2t, y=2sint-sin2tで与えられている。t=0 から =πまでにPが動く道のりを求めよ。 [類 16 上智大]

key 時刻tにおける点Pの座類 20 一解答編 eE m Same Style 42 を(x, y), 速度をひとする。 時刻もからねまでにPが通躍 する道のりは *=2cost+cos 2t, y=2sint-sin2t から =-2sint-2sin 2t = -2(sint+sin2t), dt dx V 。 dy? dt dt dx dt dy =2cost-2cos2t=2(cost-cos2t) dt pts 時刻さにおける点Pの速度をひとすると -()*(金) dx\2 dy 2 dt dt =4sint+sin 2t)?+4(cost-cos2t)? -9 8- =4(sin?t +cos?t)+4(sin°2#+cos?2t) +8(sintsin 2t - costcos2t) =8-8(costcos 2t -sintsin2t)=8-8cos(t+2t) 3 なぜ? 半角の公式 =81-cos3t)==8-2sin't 2! 、20 sin 2 1-cosé 22 am 三 3 曲J示国16sin*t を利用する。 曲のは 80 A0 曲、 よで | 8ん よって 同=4 sin 3 2 したがって,時刻t3D0 からt="までにPが動く道のりは 3 4| sin dt Har=Ssin 3 3 =4° sintdt+4\ - si -t dt =4 +4 COS 8 ニー T yi2 msc =8 F 8|3