AB=BC=CA または ZA=DZB= ZC を示す EX 53 AABCの内心と重心が一致するとき, △ABC は正三角形である。 外心·内心重心が一致する三角形 (証明) 基礎例題 53 基礎例題 50~52 次の条件を満たす△ABC は正三角形であることを示せ。 (1) 重心と外心が一致する。 (2) 外心と内心が一致する。 CHART QGUIDE) AABCが正三角形であることの証明 …3つの辺の垂直二等分線の交点 *3つの辺の中線の交点 ……3つの角の二等分線の交点 外心 重心 これらの性質を利用する。 内心 日解答日 (1) AABC の重心と外心が一致するとき, その点をGとする。 点Gは重心であるから, 直線 AGは辺 重心 G BC の中点Dを通る。 の また,点Gは外心でもあるから, Gは線 分 BCの垂直二等分線上にある。 よって, ①から, 直線 AD は辺 BC の垂直二等分線である。 B D C 外心 ゆえに AB=AC 同様にして BA=BC よって AB=BC=CA したがって, △ABC は正三角形である。 (2) △ABC の外心と内心が一致するとき, その点をOとする。 点0は外心であるから OB=OC ゆえに ZOBC=Z0CB 内心 また,点0は△ABC の内心でもあるから ZB=22OBC ZC=2Z0CB の~のから ZB=ZC ZA=ZC ZA=ZB=ZC したがって, AABCは正三角形である。 B D C 同様にして よって BAA せ。