基本例題116 割り算の余りの性質 次の数を7で割った余りを求めよ。 (1) a+26 2019 a (2) ab (3) a Ap.485 基本事項1, 3 指針> 前ページの基本事項 3の割り算の余りの性質 を利用してもよいが, (1)~(3) は, a=7q+3, b=7q+4と表して考える基本的な方針で解いてみる。 (3)(7q+3)*を展開して, 7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒。a=(a^)° に着日 し、まず,a' を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。 (4) 割り算の余りの性質4 α"を mn で割った余りは, r"をmで割った余りに等しい を利用すると,求める余りは「32019 を7で割った余り」であるが, 3019 の計算は不可能 このような場合,まず α"を m で割った余りが1となるnを見つけることから始める のがよい。 A=BQ+Rが基本 (割られる数)%3 (割る数) × (商)+(余り) CHART 割り算の問題 解答 別解 割り算の余りの性質を a=7q+3, b=7q'+4 (q, q'は整数)と表される。 (1) a+26=7q+3+2(7g'+4)=7(q+2q')+3+8 利用した解法。 (1) 2を7で割った余りは 2(2=7-0+2)であるから, 26を7で割った余りは 2.4=8を7で割った余り1 に等しい。 ゆえに,a+26を7で割っ た余りは3+1=4を7で 割った余りに等しい。 よって, 求める余りは 4 (2) ab を7で割った余りは 3.4=12 を7で割った余り に等しい。 よって,求める余りは 5 (3) a' を7で割った余りは 3=81 を7で割った余り に等しい。 よって,求める余りは 4 =7(q+2q'+1)+4 したがって,求める余りは (2) ab=(7q+3)(7q'+4)=49qq'+7(4g+3g')+12 =7(7qg'+4q+3q'+1)+5 したがって,求める余りは (3) a=(7q+3)=49g°+42q+9=7(7q°+6q+1)+2 よって,a'=7m+2(mは整数)と表されるから a*=(a)°=(7m+2)?=49m*+28m+4=7(7m*+4m)+4 したがって,求める余りは (4) a°を7で割った余りは, 3° を7で割った余り6に等しい。 よって,(α°)=aを7で割った余りは, 6°=36 を7で割った 余り1に等しい。 a2019=a2016g=(a°) **.a° であるから, 求める余りは, 1336.6=6 を7で割った余りに等しい。 したがって, 求める余りは 6 4 5 4 336