例題22 単位円に内接する正多角形 複素数平面上において,原点Oを中心とする半径 1の円に内接する正六角形の頂点を表す複素数を, 左回りにる1, 22, 23, 24, 25,Z6 とする。 Y4 22 23 21 +isin号とする。 このとき,次の間いに答えよ。 (1) 2」+22+23+ z4+ 25+26の値を求めよ。 24 また,a=cos 3 3 26 25 )(1-a)(1-a)(1-α)=6 解説を見る を証明せよ。 解答 (1) 点21, 22,……, 26は単位円周上の6等分点である。 π また,α=cos 3 +isin は,点々を原点Oのまわり に今だけ回転させる複素数であるから, 22= Q2」 23=Q22=Q'z」 26=Q25=Q'」 となるので、 2」+22+ 23+ 24+ zs+ 26 =2」+az」+e'z」+«*z」+«*z」+«°z のは,初頂 21, 公比αの等比数列の初項から第6項ま での和である。 αキ1 より, 初項 21,公比a (αキ1)の等比数列 の初項から第n項 までの和は, 2(1-a") 1-a 2(1-) 1-a 2」+22+23+24+ 25+ 26= となる。 ここで, -(co+sin) =COS 書込開始 =COs 2元+isin2π =1 よって、 2」+22+ 23+z4+ z5+ 26=0