IV nを自然数とする。図のように1辺の長さが1の正方形を階段状にn 段並べた図形に現れる正方形の個数を an とする.例えば, n=4の とき,辺の長さが1の正方形が 10個,辺の長さが2の正方形が3個 あるので, a4 = 13 である。このとき,以下の問いに答えよ。 (1) a6 を求めよ. (2) a20 を求めよ。 1段 2段 3段 4段

V 1辺の長さが1の正方形を階段状にn段並べるのに必要な1辺の長さが1の正方形の数を6、個 とおくと、 ,=と& 1) である。正方形を階段状に6段並べたとき現れる正方形の1辺の長さは,1,2,3 のいずれかで ある。1辺の長さが1の正方形はb,個現れる。1辺の長さが2または3の正方形がいくつ現れ るか考える。下図において、記号Oで記した箇所は、1辺の長さが2および3の正方形のもっ とも右上の部分となりうる箇所であり、記号Oで記した箇所は、1辺の長さが2の正方形の もっとも右上の部分となりうるが、1辺の長さが3の正方形のもっとも右上の部分とはなり えない箇所である。 O O O O この図より、1辺の長さが2の正方形はb,個,1辺の長さが3の正方形は b,個現れることがわ かる。したがって、求める値は、 4,= b,+b, +b。 1 =ー-6.74 2 2 = 34 であるとわかる。 (答)34 (1)と同様に考えることで,1辺の長さが1の正方形を階段状に 20段並べた時,1辺の長さが kの正方形(1いk510)はb。24-1) 個現れるとわかる。したがって,求める値は D-2(k-1) ー2(2-24) +22-24) =2(2k-45k+ 253) -2-10(10+1) (2-10+1)-45-10-(10+1)+2530 = 770-2475+2530 = 825 となる。 (答)825 |o