113 Lv.★★★ 解答は180ページ 次の各間に答えよ。 vJ8r )ん>0として, 不等式(1+h)" >1+nh+ n(n-1) h? がすべての自然 2 数nについて成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 (2)(1)の不等式を使って, 0<x<1のとき, 数列 {nx"}が0に収束す ることを示せ。 (3)0<x<1のとき, 無限級数2x+4x°+6x°+…+2nx"+….の和を求 めよ。 (茨城大)

(2)不等式を使って数列が収束することを示すので, ハサミウチの原理を使 えるような変形を考えよう。 1+hとxは定義域が異なるため x=1+hとおくことはでき 問題は47ページ 113 無限級数の和 Lv. ★★★ 考え方 x X 置き換えることで(1)が適用できる。 [けん) tzはしBいりht ntn-t"h? 4engに Process 解答 2 2 を,数学的帰納法を用いて示す。 (I)n=1のとき 左辺,右辺ともに1+hで, ①は成り立つ。 (I)n=kのとき,①が成り立つと仮定すると n=1のときの成立を 示す niens k(k-1), (1+h)* 21+kh+ n=kのときの成立を 2 仮定 両辺に1+h(> 0)をかけて k(k-1) 2 (1+h)*+1 21+(k+1)h+ 2 k(k-1)20より Smit 2 (1+h)*+121+(k+1)h+ -h? 2 これはn=k+1のときも①が成り立つことを示している。 (I), (Ⅱ)より, ①はすべての自然数nについて成り立つ。 (証終) n=k+1のときのに を示す