内閣総理大臣については、憲法の第６７条で「内閣総理大臣は、国会議員の中から国会の議決で、これを指名する。」と書いてあります。
つまり、内閣総理大臣になる条件として、国会議員でなければいけません。なお、衆議院、参議院どちらでもかまいません。
ということは、選挙で落選して国会議員でなくなったならば、内閣総理大臣を辞めなければいけません。

いっぽう、国務大臣は、第６８条で「その過半数は国会議員の中から選ばれなければならない」と書いてあります。
これは、半分以内であれば国会議員でなくてもいいということで、民間人でも内閣総理大臣が指名すれば国務大臣になれます。
ですから、ですから、こちらは、国会議員でなくなっても続けることは可能です。

落選とはそのまんまの意味で、選挙に落ちることを指します。すなわち、小選挙区で当選することが出来ず、比例でも当選できないという状況です。ただ、これは現実的にはありえません。
②の問いですが、内閣総理大臣の指名要件に国会議員であることが示されていますが、職務を続けることには定めがありません。
しかし、
日本国憲法
第七十条　内閣総理大臣が欠けたとき、又は衆議院議員総選挙の後に初めて国会の召集があつたときは、内閣は、総辞職をしなければならない。
というように、衆議院選挙の後に内閣は必ず総辞職しなければなりません。今までの内閣総理大臣は全て衆議院で衆議院議員から指名されますので、衆議院選挙で落選するということは、指名の資格を喪失(国会議員でなくなること)するので、憲法の規定により内閣総理大臣にはなれません。
また、国会議員でないと議院はその人を信任出来ません(資格がないから)。そして、日本の内閣は議院の信任によって成立する議院内閣制ですから、そもそも内閣が成立しないので、内閣総理大臣にならないという考えもあります。
③の国務大臣が国会議員の資格を失って失職するか。ですが、これはよくあることですね。例として2012年の衆議院選挙では与党であった民主党がぼろ負けしたので、官房長官とかが落選してます。
稚拙な回答ですがご容赦ください。

内閣総理大臣や国務大臣等は国会議員ですがこの人たちは特殊国家公務員という職業に就いています。つまり英検や数検等みたいな「資格」ではありません。国会議員というのは選挙によって当選した人のことを言います。国会議員には党に所属する場合が多いです(例えば自民党や公明党等)｡その党首が内閣総理大臣になります。つまり選挙で負ける(落選する)→国会議員になれない→党首になれない→内閣総理大臣になれないという流れです。国務大臣は国会議員にいる人から内閣総理大臣が任命して天皇が認めます。なので任命されなければ国務大臣にはなれません。まぁ国務大臣が何かやらかしたら議員を辞めるので国会議員の立場からいなくなると思います。これで回答になってますか？