計算間違いをしていました。
720でした。訂正します。

ピヨピヨさんの７２０㎝³は正解だと思いますが、
Ｑ：ピヨピヨさんの解を求めた式を教えていただきますか？
私も、計算したのですが、私は、ベクトル平衡体という形を知っているので、そこから求めたので、亜流の計算方法だと感じています。
こんな問題中学生の数学の授業程度の知識で解けるのか？という疑問もあります。今の中学生はこんな問題解くのがの当たり前なのでしょうか？

Ｑ：つゆさんに質問ですが、この問題は、出題者は誰で、どのくらいの難易度なのでしょうか？クラスの全員が宿題で解いてこなくてはならないとか、どこか高校の入試問題とか？

ひふみさんは中学生ではありませんよね。
私は暇潰しとボケチェックと親切の押し売りで回答しています。
図１はつゆさん向けです。

中学の学習内容で解けます。
ひふみさんは『高校への数学』をご存知ですか？あの学習書ですと、普通レベルです。
と、云いながら計算間違いしていました。恥ずかしい。
図２の様に捉えます。

立体の高さは図３の様に求めます。
クラス全員には、この問題は出しません。
つゆさんが、もっとヒントを必要とするのであれば、続きを送ります。

①私が、引っかかったのは、高さの算出です。
なるほど、そう考えると、中央の三角柱は計算できますね。

②緑の切頭三角柱の計算なんて、中学校で習うのかな？
私としても、切頭三角柱は初めての単語ですから、体積を求める公式も聞いたことないです。
（おそらく、三角柱から、四角錐を引く計算になるのでしょうか？）

①は中学生の知識でもひらめけば問題ないですね。
でも、
②の切頭三角柱が中学の数学で習うのか？って個人的には思います。

申し遅れました。
私は、
〉私は暇潰しとボケチェックと親切の押し売りで回答しています。
と言うぴよぴよさんとよく似た者です。
Clearのひふみは、しがない技術屋の世を忍ぶ仮の姿とご理解ください。

それにしても、ピヨピヨさんは、正攻法の空間図形の解体で体積の計算をされましたね。
正攻法すぎて、切頭三角柱が出てきます。
私は、数学は得意でしたが、切頭三角柱は初見でしたので、正攻法では解を求められませんでした。

「高校への数学」は、始めて知りました。難関校受験を想定した本なんですね。
受験のためというより、ボケ防止というか、暇つぶしに、芸能人の格付けランキングのようなクイズ番組を見るより面白そうですね。

ピヨピヨさんへ
丁寧な説明ありがとうございます。
私も色々勉強になりました。

知的好奇心を刺激する勉強って楽しいですね。
そういう意味では、文科省の言っている「主体的・対話的深い学び」の正しさを実感します。

ベクトル平衡体に興味があって、昔、3Dモデルを自作で作ったのですが、高さの計算がよくわかっていなかったので（当時の私の限界）、
四苦八苦しましたね。とりあえず、できたのですが、ピヨピヨさんに教えてもらった知識があれば、もっと簡単に作れたのでしょうね。

切頭多角柱の計算の仕方です。
パズルだと思って中学数学をやっています。四苦八苦。仕事があると、はかどりませんが。
□+△=12という考え方は賛成です。
独創性が生まれそうです。

切頭多角柱式をありがとうございます。
お手数をおかけしました。
そもそも、気になるなら、検索すれば良いのに、そこまで、ひらめいていませんでした。すみません。

これなら計算できそうですが、底面から伸びる辺は垂直という前提だから、今回の問題では、二分割して垂直な辺を作って計算して合成（足す）って感じですかね。

ピヨピヨさんがベストアンサーです。（私には、ベストアンサーを決める権限（ボタン）がないのですけどね。）

辺の数を分母にして、辺の長さを足したのを分子にすれば、垂直じゃなくてもできるのでしょうかね。
式をじっくり見ていたら、そう感じました。そうなると、結構簡単に切頭多角柱の体積求められますね。

計算式です。
つゆさんは、自分でトライしてから画像を見てください。自分で考えないと、意味がありません。

訂正します。度々申し訳ありません。
頭がアホでした。
訂正図２

訂正図４。答えも間違えていました。

四角柱といういい方も違いますね。
三角柱だが、稜線が４つあると云えば良いのか。

時間がかかったけど自力で解くことができました！ありがとうございます♪

私の考えた式は、こんな感じです。ただし、学校の先生の求めて欲しい式とは違うと思います。力技ですね。
（ピヨピヨさんの検算程度に考えてくださいね。）

大きい立方体－立方体の頂点部分の三角錐✕８＝ベクトル平衡体
ベクトル平衡体÷２＝答え

大きい立方体の辺は、６√２の辺の立方体の対角線です。
つまり、大きい立方体の辺は、６✕２＝１２
①大きい立方体の体積　１２✕１２✕１２＝１７２８

８つの三角錐は、底辺の三角形が、６✕６÷２＝１８
②三角錐の体積は、高さが６なので、１８×６÷３＝３６

ベクトル平衡体の体積
１７２８－３６×８＝１４４０

問題は、ベクトル平衡体の半分のだから、
１４４０÷２＝７２０

答えは、７２０㎝³
で、めてたく、ピヨピヨさんの答えと同じになりました。

ありがとうございます(^^♪
五木の模擬テストの問題です。模範回答が配られたので解説を見るとひふみさんと同じ解法でした。

追記です。どのくらいの難易度と言われると個人的にテストの問題で一番難しい問題です。もし数学で100点をとると偏差値が92でした。

奈良の中学生が2学期によく受ける五木の模試ですか。
模試は、偏差値算定が目的ですから、参加者の得点がきれいにばらけないといけません。
だから、出題者は、超簡単な問題と超難解な問題を用意したいでしょうからね。

回答者の二人の解き方は、山登りの道で例えるとそれぞれ別の道で同じ山頂に向かう道ですが、道の性格が違います。
計算自体は、私の方が簡単ですが、ベクトル平衡体をひらめくかどうかが超難問だと感じます。
それが模範解答だったのですね。
（図形の分解は、ピヨピヨさんが簡単なのですが、いざ計算するとなると、切頭多角柱の計算ですからね。）

数学など幾何学を大学で学んだ人はひらめくかも知れませんが、あの展開図から、ベクトル平衡体の半分の図形だとひらめく中学生がいるのでしょうかね。
そもそも、かろうじてベクトル平衡体をひらめいても、制限時間に解ける中学生はほぼいなかったでしょうね。
私も、深夜見た時は、解くのを断念して、次の日解いていますからね。

長文になると、つゆさんの試験勉強を圧迫しますので、今日はこのくらいで、コメント返しはどちらでも結構です。