まず、絶対値を見たら、絶対値の中身の符号で場合わけです。
なぜなら、絶対値の中身の符号で、絶対値の外し方が違いましたよね。
　a≧0のとき、|a|=a
　a<0  のとき、|a|=－a　でしたよね。

では、解いていきます。

絶対値があるので、絶対値の中身で場合分け
(1)|x－1|+|x+3|≦5
　[1]絶対値の中身が両方0以上のとき
　　x－1≧0かつx+3≧0、すなわち、x≧1かつx≧－3、すなわち、1≦xのとき(x≧1とx≧－3の共通範囲)
　　　|x－1|+|x+3|≦5
　  (x－1)+(x+3)≦5
　　　 2x+2≦5
　　　　　　　 2x≦3
　　　　　　　　x≦3/2
　 　x≦3/2と1≦xの共通範囲を求めて、1≦x≦3/2・・・①

　[2]絶対値の中身が前者が0以上、後者が0未満のとき　
　　x－1≧0かつx+3＜0、すなわち、x≧1かつx＜－3、これを満たす数xは存在しない
　　(x≧1とx＜－3の共通範囲はないですよね)ので、この場合分けは書かなくて良い
　　　
　[3]絶対値の中身が前者が0未満、後者が0以上のとき
　　x－1＜0かつx+3≧0、すなわち、x＜1かつx≧－3、すなわち、－3≦x＜1のとき(x＜1とx≧－3の共通範囲)
　　　|x－1|+|x+3|≦5
　  －(x－1)+(x+3)≦5
　　　 －x+1+x+3≦5
　　　これを満たす数xは存在しない

　[4]絶対値の中身が両方0未満のとき
　　x－1＜0かつx+3＜0、すなわち、x＜1かつx＜－3、すなわち、x＜－3のとき(x＜1とx＜－3の共通範囲)
　　　　|x－1|+|x+3|≦5
　－(x－1)+{－(x+3)}≦5　
　　　 －x+1－x－3≦5　
　　　 　　　　－2x≦7
　　　　　　　　 x≧－7/2
　　x≧－7/2とx＜－3の共通範囲を求めて、－7/2≦x＜－3・・・②

以上より、答えは①②の範囲を合わせて、1≦x≦3/2、－7/2≦x＜－3

分からなければ質問してください
(2)も同じやり方で解けますよ