(2) kは -1 ではない実数の定数とする。x+y=kであるとき, x°+y°-3xy+1=0 を満たす実数 x, yがあるようなkの値と, そのときの x, yの値を求めよ。 (15点)

(2) x+y+1=k+1+0より x*+y+1-3xy =0 (x+y+1)(x? +y?-xy-x-y+1) 3 0 →x?+ y? - xy -x-y+1=0 …(9) ()の左辺を変形する: x?+y?- xy -x-y+1= (x+y)?- (x+y)+1-3xy =k?-k+1-3xy. ゆえに()は次に同値: 3xy = k?-k+1. さて、 ()を満たすx,yERが存在する。 →2次方程式α? - (x+y)a+xy=D0 が実数解を持つ。 =2次方程式 3a? - 3ka+ (k?-k+1) = 0 … (0) が実数解を持つ。 ("*) 2次方程式(O)の判別式をDとする。 D= 9k? -4-3(k? -k+1)3D-3(k-2)? kキ-1かつD20となればよい。 D20→k=2(#-1). ゆえにk= 2だけが条件を満たす。このとき方程式(O)は a? - 2a +1= 0ta=1(重解) 以上よりk-2. またそのときの解の値はx-y-1.