(2)△ACDの底辺と高さをどう求めるかが重要。まず順当にCDを底辺として考え、AからCDに向かって垂線を引くことで高さを求めようと思う。垂線の足をHとおく。AHを求めればよい。
AHを含む三角形を考え、特にAHが求められそうなものを選ぶ。実は、他の2辺の長さがわかる直角三角形がひとつある。
△AA'Hである。AA'=√3/2であったし、A'Hも少し考えれば求められる。A'Hを含む図形に注目すると、長方形A'MCHがあることに気づけるといい。長方形の対辺は等しいので、A'H=MC=√3
△AA'Hに三平方の定理を用いると、
AH²=AA'²+A'H²
=(√3/2)²+(√3)²
=15/4
AH=√15 /2
よって、高さが求まったので、
△ACD=1/2×CD×AH
=1/2×2×√15 /2
=√15 /2
どの三角形に注目するかが大事。求めたい辺それぞれで注目すべき三角形が変わるから、しっかり見極めること。

(3)A'CとBDの交点をEとする。
求める面積は△EBCの面積。
BCを底辺として考えるなら、EからBCに向かって垂線を引く。垂線の足をFとおくと、EFが高さになる。
EFを求める。どう求めるか。EFが何によって決まるかを考えるといい。EFはEの位置によって決まる。Eの位置はA'CとBDの交点として一意に定まる。つまり、EがA'CとBDの交点であることからEFが決まる。EFを求めるのに用いるべき情報はEがA'CとBDの交点であること。この情報からわかることは何か。EはA'C上にあり、かつBD上にあるということである。この2つを組み合わせることで、Eの位置、さらにはEFが求められる。
EがA'C上にあることから何がわかるか。
EF,A'Cを含む図形に注目すると、
△EFC∽△A'MC
ということがわかる。∠F,∠Mがともに直角、∠Cが共通なので、2組の角が等しいから。
よって、辺の比が等しく、
EF:FC=A'M:MC
ここで、A'M=3/2,MC=√3より
EF:FC=3/2:√3
FC=(2√3/2)EF⋯①
また、BDについても同様に、
△BFE∽△BCD
BF:EF=BC:CD
BC=2√3,CD=2より
BF:EF=2√3:2
BF=√3EF⋯②
①,②を連立すればEFが求められる。
BF,FCを消去したい。BF,FCに成り立つ関係を考えればいい。
BF+FC=BCという関係がある。これに①,②,BD=2√3を代入すると、
√3EF+(2√3/3)EF=2√3
EF=6/5
これでようやく高さが求まった。あとは面積を計算するだけ。
△EBC=1/2×BC×EF
=1/2×2√3×6/5
=6√3/5

丁寧な説明ありがとうございます！立体のイメージがつかみづらく、困っていたので助かりました

これは難しいです。特に(3)の交点条件の取り扱いには悩みますよね。
立体といえども考えるときはひたすら平面を取り出して考えることが大事です。