三平方の定理を使わずに解きます。

赤のように図を分けます。
三角形は、5×5÷2＝25/2　が2つで50
7×1÷2＝7/2　が2つで7
長方形は　2×4＝8
合計で、65

青の対角線は、マス目の数を見ると、長さが一緒です。(両方とも2マス6マス)
ひし形の面積＝対角線×対角線÷2　より
青い線をxとすると、
EG×FH÷2
＝x×2x÷2
＝x²

x²＝65
→　x＝√65
xはFHの半分なので、2倍して
よって、FH＝2√65