2同じものを含む順列の総数 1 番のまn aがp個,bがq個, cがr個あるとき,それら全部を1列に並べる順列の総数は n! CpXnーACg= ただし p+q+r=n p!q!r! 解説 r=0 のときは,nーACg=1 であり,順列の総数は ,Cp= p!q! n! である。 -1 また,同じものが4種類以上のときの順列の総数も,同様に考えることができて, 次のように表される。 n個のもののうち,p個は同じもの,q個は別の同じもの,r個はまた別の同じ もの,……であるとき, これら n個のもの全部を1列に並ベる順列の総数は S+ n! nCp×nーACg×nーD-CrX… ただし p+q+r+…=n

3重複組合せ 三角 異なるn個のものから 重複を許してr個取る組合せの総数は 本のサ合 細合せ T月ー n+ャー1C, (ただし,r>n であってもよい。) この総数をH, で表すことがある。 補足 H,のHは英語 homogeneous product (同次積)の頭文字である。 解説 3個の文字 a, b, cから, 重複を許して6個取る組合せの総数を考えよう。ただし 1個も取らない文字があってもよいものとする。 自の ケまMさGL 例えば, aを3個,bを1個,cを2個 aを1個,bを4個, cを1個 という取り方がある。ここでは, 6個取る組合せを考えているから,これらを, a→b→cの順に取った数だけ並べて aaabcc, abbbbc のように表す。 更に, この組合せを○と|を用いて次のように表してみる。 OTTUJO aaabcc ○○○|○|〇○s 「bc 3 a abbbbc a b c すなわち,まずaの数だけ○を並べ,仕切り|を1つ入れる。そして, bの数だけ ○を並べ,更に仕切りを1つ入れる。最後に,cの数だけ○を並べる。1個も取 らない文字があってもよいから,仕切りが2つ続いたり,左端や右端にきたりする こともある。例えば,次のようになる。 この中には正F角形のaacccc → ○○||〇〇○○ a b-c TO○○○○○| b *bは0個。 10-9 *a, c は0個。 C a の で このように,重複を許して6個取る組合せは,6個の○と2個の仕切り|を1列に 並べる順列に、1つずつ対応する。すなわち,この組合せの総数は,8個の場所か ら6個の○を置く場所を選ぶ方法(2個の仕切り|を置く場所を選ぶ方法,でもよ P)の総数に等しいことがわかる。したがって,求める組合せの総数は