won’t は"どうしても〜しない"という意味があります。
例えば

The engine doesn’t start.
The engine won’t start.

どちらも"エンジンがかからない"という事実をいっていますがdon'tの場合は、話し手がエンジンがかからない明確な理由をもって"エンジンがかからない"という事実を言っているにすぎません。

一方won'tは話し手がエンジンがかからない理由がわからずに"エンジンがどうしてもかからない"という意味を表します。
このようにwon'tはあたかも物に拒絶の意志があるかのように、通常通りに動作しないことを表し、それに対して話し手が苛立ち・焦り・不満などの感情を覚えている状況においてよく使われます。

他にも、"主語の拒絶の意思"を表すので人を主語にした場合は、「（主語の人間が）話し手の希望・予想どおりの行動をしない」ことを表し、同じように、話し手の苛立ち・焦り・不安・不満などの感情を伴う場面でよく使われます。