参考問題 S16 - 1 くだけでは、 1の -1Sr<1 である任意の実数 zに対して 22-2ax+b>0 が成立するような実数 a, bの条件を求め,その条件を満たす点 (a, b) の能 範囲を図示せよ。 解答 放物線 ば、 tg as +5 y=-2ar+b のグラフが, -1SrS1 の範囲で, z 軸の上側にあるた めの条件を求めればよい。

The Nagaoka Lectures on Mathematics 0の右辺を了(z)とおくと、 f(z)=(z-a)+bーa 16 であるので,Oは, 直線 z=a を対称軸にもつ,下に凸 の放物線である。そこで,この対称軸と,-1名uい1 の範囲との位置関係に注目して分類する. )a<-1 のとき, -1STS1 の範囲では, f(x) は増加する.した がって,考えるべき条件は、 f(-1)>0 1+2a+b>0 で与えられる。 i)-1SaS1 のとき, -1SrS1 の範囲では, f(z) は, エ=aにおいて 最小値をとる。したがって, 考えるべき条件は, f(a)=b-a°>0 で与えられる。 面)1<a のとき, -1SaS1 の範囲では,f(z)は減少する.した がって,考えるべき条件は, f(1)=1-2a+b>0 -1 0a で与えられる。 以上,i), ii), i)をまとめると, a, bの満たすべき 条件は、 (a<-1 かつ 1+2a+b>0) または(-1<a<1 かつ 6-a'>0)または(a>1 かつ 1-2a+b>0) となる。したがって, 求める点 (a, b) の存在範囲は, 下図の斜線部(境界は含まない)である。 S -10 1a b=-2a-1b=a? b=2a-1 の存由。 -1

16 The Nagaoka Notes ab 平面上で、 直線 b=2a-1, b=-2a-1 2方程式 もつため 条件①の -1<r< 数える) は、 放物線 b=a° ンラ に、それぞれ, 点(1, 1), (-1, 1)で接する. この事: |態は,計算で容易に確かめることができるが, 次のよ ( 点(a, b)の位置と方程ま。 うに、 [6=2a-1 一→ f(1)=0 |6=-2a-1→f(-1)=0 l6=a° という式の意味を理解すれば, 計算するまでもなく, 納得できる。(もし, f(1)=0 を表す直線が, 判別式=0 を表す放物線と異なる2点で交わるとし:実数解 たら,f(1)=0 の表す直線上に, 判別式<0 である点 f(ax)=0 の解 →f(a)=0(→別式=0)+ bt b=q? 2つの 虚数解 重解 2つの が存在することになり,これでは「1を解にもち,し: かも2つの虚数解をもつ」ことがありうることになっ てしまう!) 1を解にもつ b=2a-1