8·14 関数f(t)はf(0)=0をみたし,つねに 110 3 f"(t)20であるとする. u(x)=| f(t)dt とおく. ェ20のとき, u'(x) N0, u(z)20であることを示 せ。 関数g(s)は,つねにg"(s)20をみたすとす る。a<bのとき, 不等式 b S1C a+b | g(s)ds2(b-a)g(- 大泉 を示せ。 2 a (05 大阪市立大·理一後) C9

8.14 ■抽象的関数の定積分に関する不等式 -o 元さ d (J f(t) dt ) =f(x) がそのままの形では使 dz えません、f(ェ) の原始関数を F(x)とおくと,すっき り書くことができます。 また,®=(b-a)g(“)なので,①は, (2)(1)に結び付けます。まずは,左辺にまとめます。 積分区間が,[-2, z] から,[a, b] になっているの で、区間[-, z] の真ん中の0が区間 [a, b]の真ん Sacas-(b-a)()20 「s2(b-a)() a+b a+b a+b 中の 2 に合うように変数変換することを考えて, 別解 [bの関数として見る] 解答のような関数を設定します。 h(z)=(s)ds-(エ-a)()とおく. xta (1) f(x)の原始関数の1つをF(x)とすると, [h(a)=0 であるから, h'(z)20 (ェ>a) を示せば h(z)20 (zZa)が導ける. g"(s)N0によりg'(s)は 非減少関数であることに注意する] u(x)=() dt=F(z)-F(-x) '(x)=(F(x)-F(-ェ))=f(z)+f(-x) u"(x)=f'(x)-f"(-ェ) f"(z)20 なので, f'(z)は非減少関数である。 ェ20のとき, NIaであり, f'(x)2f'(-2) 関 公 (8) . () (ローエ)-()8-(2)0-(2)4 xta …の ここで平均値の定理を用いると, ェ>aのとき, g(z)-()-(ェ-)が(c). x+a エ+a よって, u"(x)=f"(z)-f'(-z)N0 u'(0)=f(0)+f(0)=0 と合わせて, x>0で, 2 エ+a かつ -<c<xを満たす実数cが存在する 2 u'(x)20 これと,u(0)=F(0)-F(0)=0 より, zZ0で, Ob (Onia-)0u(x)20 x) 0mia のでの, 6より, が(土)-r)-→()} エ-a +a 2 (2) [「foce)- ()420を示せばよい g"(x)20より, g(x)は非減少関数なので, お るこの0 a+b g(c)z() エ+a 2 h(x)=g(エ+ a+b a+b J (9) よって,H(x)N0 (x>a) h(x)は, ェ>aで非減少関数である。 5こつ h(a)=0 なので, h(x)20 (x>a) b>aなので, h(b)20 2 60h0円 a+b 2= a+b h(0)=g =0 atb a+b K(z)=g(エ+). h"(x)=g"(z+)20 これより,「g(s)ds2(6-a)g("+b)八 関数h(z)は,(1)の条件を満たすので, も①(S) の注(1) 別と同様に, ⑦で平均値の定理を用い は ると, f'(z)-f'(-x)== {x-(-z)}f"(c) (-xScMx) を満たすcが存在します。 b-a 0. |ah(x)dz20 b- IS tん0n 2 が成り立つ,左辺を計算すると, 20, f"(c)20により, f'(z)-f'(-x)N0 b-a 島()-()) a+b a+ dx が分かります。 2 ■コメント g"(s)20により, y=g(s)は下に凸で、 (2)の不等式は,右図の b-a a+b de b-a a+b I+ 2 dr 0 D リ=g(s), F b- b-a |2 3 T |g(s) ds=(図形 ABCD) H 2 E a+b と変数変換すると, ds=dz 2 2(台形 ABFE) =(長方形 ABHG) 'a+b っで, s=z+ (O201l A b. Bs a+b 2 学 b-a b-a b-a 2 なので、 という関係より, 納得することができます。 101 エ 2 2 S b a