“stay”（ステｲ）＝「（広い意味で）留まる」

“remain”（リメィﾝ）＝「（引き続きそこに）留まる」

“stay”は留まる場所にその人が今現在いてもいなくても使える。
やから、不要不急な外出を控えるために最近聞く“Stay (at) Home”（「家に留まろう」⇒「家で過ごそう」）やけど、これは伝える相手が今どこにいるかは関係なくとにかく「家にいよう」というメッセージを伝えてる。
“stay”（ステｲ）＝「（広い意味で）留まる」

“remain”（リメィﾝ）＝「（引き続きそこに）留まる」

反対に“remain”は「残る」という意味もあるように、“引き続き留まる（残る）”というニュアンスがある。
やから、“remain at home”だと今現在家にいて引き続きそこにいるということ。