長い方の辺 * ム 枚重ならないように並べて, 縦の長さが2, 横の長さがnである長方形の領域を埋 め尽くすことを考える。正の整数nに対して, タイルの並べ方を an 通りとすると、 a1 = 1, a2 = 2, a3 =3である。 縦2横nの長方形領域 タイルの並べ方 n=1 4,=1 n=2 =2 n=3 3-3 (1) a4 = (ア) (イ)|である。 45 ミ lartan-z (ウ) |である。 (2) n23のとき, anを an-1 と を用いて表すとan an-2 (3) (2) の式をan + aan-1 = B(an-1 + αan-2) (α< B) の形に変形する。 こ のように変形できる。αは2つあり, それぞれ α1, α2 (α1 < α2) とすると (21, 02) =| (エ) である。 (4) n22のとき, Cn= amtαian-1, dn = an+ α2an-1 とする。 このときcn よびをnの式で表すと Ch (オ) (カ)である。 (5) n23のとき, anをnの式で表すと an (キ)である。 使聞して an-へケにする an: 1β-4)an-1t 以FQa2 うにおいてすべての hn-i, -は)an-1 t以βan-2 バ成り在つから 「e-ド-| an-2で Xの hu-Lt an-zえ こ ド= 4E ar p-15 -1け5

京都産業大-一般 2 248 2016年度 数学(解答) (8-a)an-1taBan-2=Qn-1+am-2 が成り立つから /8-a=1 la8=1 -1土15 B= 1土(5 (複号同順) 2 a= 2 したがって,求める α1, Cz (αr<C2) は -1-15 -1+V5 2 (Ci, 2 (4) (3)の結果より, α=Ciのとき β=B とすると antitauln=A(nteian-1) Cn+1=Bicn 変えたパージョン よって へをんてに -2 Cn=CaB" 3-5 ×1= 2 B=1+a=ー 2 1-15 より C2=Q2taiai=2+ 2 n-2 3-5 /1-/5 Cnミ 2 2 同様にして,α=zのとき β=Baとすると an+1+azan= B2(antazan-1) dn+1=Bedn よって dn=daBe"-2 ー1+,5 d2=a2+axa;=2+ 2 3+ 5 -×1= 2 1+ 5 B2=1+2= より 2 n-2 dn= 2 →(カ) 2 (5) (4)の結果より, n>3において antaan-1=an+ -1-5 -3-15 /1-15 n-2 an-1= 2 2 2 antazan-1=an+ -1+\5 3+ 5 n-2 1+/5 an-1= 2 2 Ox1+,5 2 -@x_1-15 より 2 2 15a=(2+-5)(14,5-(2- ¥5 4,=(2+、5)1+5 n-2 (2-,5)(155) n-2 1+.5 n+1 1-15 n+1 2