参考・概略です

●真ん中の3倍が3つの和に近いので
　1枚目　(1/ 2)×3＝3/ 2＞1/5
　2枚目　(1/ 4)×3＝3/ 4＞1/5
　3枚目　(1/ 6)×3＝3/ 6＞1/5
　4枚目　(1/ 8)×3＝3/ 8＞1/5
　5枚目　(1/10)×3＝3/10＞1/5
　6枚目　(1/12)×3＝3/12＞1/5
　7枚目　(1/14)×3＝3/14＞1/5
　8枚目　(1/16)×3＝3/16＜1/5
と目安をつけて、
　7枚目と8枚目を計算し確認し【答え8枚目】

補足(確認)
1枚目…(1/ 1)＋(1/ 2)＋(1/ 3)＝11/6＞1/5
2枚目…(1/ 3)＋(1/ 4)＋(1/ 5)＝47/60＞1/5
3枚目…(1/ 5)＋(1/ 6)＋(1/ 7)＝107/210＞1/5
4枚目…(1/ 7)＋(1/ 8)＋(1/ 9)＝191/504＞1/5
5枚目…(1/ 9)＋(1/10)＋(1/11)＝107/990＞1/5
6枚目…(1/11)＋(1/12)＋(1/13)＝431/1716＞1/5
7枚目…(1/13)＋(1/14)＋(1/15)＝587/2730＞1/5
8枚目…(1/15)＋(1/16)＋(1/17)＝767/4080＜1/5