こんにちは～元塾講師、今はお勉強系ライターやってるゴリゴリの大人です。よろしくね。

結論から言うと、合ってないです。
正解は、I have been busy since last month.です。

get busy （with A）は「（Aで）忙しくなる」という意味で、
busyだけじゃなく、getで「～になる」という意味を表すことがあります。get better「良くなる」とかね

で、忙しく「なる」ってのは1回きりでしょ。「なり続ける」ってことはできません。
例えば、「私は野球選手になり続けている」ってのは意味不明じゃないですか？
過去のどっかの時点で野球選手になって、そこからずっと野球選手なわけだから、「～になり続けてる」じゃなくて「ずっと～である」って言うべきですよね。
それと同じ！