本質的には関係代名詞の話ではありません。どちらも、関係代名詞の主格で、関係代名詞は2つの文をくっつけたものです。
よって、関係代名詞節のもともとの文は
The white building stands on the hill.
The man is standing near the door.
になります。
結局、
The white building [stand] on the hill.
The man [stand] near the door.
のstandが何形になるかという1年生の時制の使い分けの問題です。

現在形は、現在のことを表すときに使うと覚えるのではなく、過去も現在も未来も変わらないことに使うと覚えましょう。I usually play soccer after school.は別に放課後でなくても、友達に「放課後いつも何してるん」と言われたときの返事として、朝に喋ってもいいですよね。I go to ◯◯ junior high school.も別に登校中でなくても普通に使いますよね。おおよそ過去も現在も未来も変わらないことには現在形を使い、今回も病院は、昨日からあって、今も、1週間後もあると考えるのが自然なので現在形です。
一方、現在進行形は「今ちょうど~している」というイメージなので、is standingです。現在形にしたら昨日も今日も明日もずーっとドアの近くに立っている不審者みたいになります。