''つついて''は、
「つつく」＋「〜して」＝つついて
となっています。

今回のように
「自分のくちばしで卵の内側から殻をつついてくるのだ」

だと、「つつく」をしてなので別れますが

「くちばし卵をつつく」
のような分だとしたら多分別れないと思います。

間違ってたらすいません💦