f(t)の原始関数をF(t)とします
1.
∫_a^x f(t)dt = [F(t)]_a^x=F(x)-F(a)
となってF(x)-F(a)はxの関数となります
もう一つも同様です

2.
d/dx ∫_a^x f(t)dt=d(F(x)-F(a))/dx
=d(F(x))/dx-d(F(a))/dx
=f(x)
という変形になります

a=1, f(t)=2t, g(x)=5x, h(x)=4xとかで計算してみたらなんとなくイメージがつかめると思います。
それが任意の定数や関数で成り立つということです。