特に「すべて」とも言われていないので、これを満たすものが1つだと考えるとすぐに2×2+3=7だから2と1かなってわかると思います。
ですが、複数答えがある場合はそうはいかないと思います。
中学生にとって、一番簡単な方法はおっしゃるように1から順に代入です。そんな難しくない問題ならそれでもいけます。
ですが、これもx=22とy=40みたいになったら無理ですし、複数になると大変です。
そこで、どんな場合でも解が1つ見つかりさえすれば、全て求められる方法を考えます。
方法1: 座標平面で考える。
2x+3y=7を変形すると
y=-2/3 x+ 7/3
となります。
これを図示すると写真のようになります。図から自然数になる解は(2,1)だけです。
ここから、x,yが自然数ではなく整数である場合も考えられます。
整数解の1つは(2,1)であり、x→+3, y→-2ごとに一定間隔で解は存在するからkを整数として
x=2+3k, y=1-2k
例えばk=0なら(2,1), k=1なら(5,-1), k=-1なら(-1,5)だし、k=5000を入れたら(15002,-9999)です。どの場合でもきちんと2x+3y=7になっています。
方法2: 分数にする
2x+3y=7を変形して
x= (7-3y)/2=-y +(-y+7)/2
左辺のxは整数なので、右辺も整数でないとおかしいです。そうなるためには、-yは整数で、(-y+7)/2について、分母が約分で1にならないといけないので7-yは2の倍数でなくてはなりません。よって整数をlとして
7-y=2l
y=-2l+7
もとの式に入れたら
2x=7-3(-2l+7)=6l-14
x=3l-7
さっきと見た目は違いますが、l=3を入れたらきちんと(2,1)になるのでこれが自然数どうしの解です。また、l=4を入れたら(-1,5)に, l=2を入れたら(5,-1)になるのでさっきと同じです。
もうあと2つの方法は完全に高校内容です。(わからないと思いますが、色んな方法があるよってことで一応写真に載せておきます。方法3が高校に入ったら絶対にできるようにしないといけないやり方です。)
