a>0なので関数y=ax^2は下に凸な放物線です.
xの変域が-1≦x≦2ならば, yの変域は0[軸x=0を含むことに注意しよう]≦y≦a*2^2[軸から遠い方]=4aです.
b>0なので1次関数y=bx+3はxが増えると, yも常に増える関数[数学的には単調増加関数といいます]です.
したがってxの変域が-1≦x≦2ならば, yの変域は-b+3=b*(-1)+3≦y≦b*2+3=2b+3です.
これらの変域が一致するので, -b+3=0, 4a=2b+3⇔b=3, a=9/4とそれぞれ求まります.