(1)
ド・モアブルより
cos3θ+𝒊sin3θ
=(cosθ+𝒊sinθ)³
=(cosθ+𝒊sinθ)²(cosθ+𝒊sinθ)
=(cos²θ-sin²θ+2𝒊cosθsinθ)(cosθ+𝒊sinθ)
= cos³θ -cosθsin²θ -2cosθsin²θ
𝒊(-sin³θ+cos²θsinθ+2cos²θsinθ)
=cos³θ -3cos²θsinθ +𝒊(-sin³θ +3cos²θsinθ)

実部と虚部を比較して
sin3θ
= -sin³θ +3cos²θsinθ
= -sin³θ +3(1 -sin²θ)sinθ
= 3sinθ -4sin³θ

(2)
x = acos2t = a(1-sin²t)

よって　sint = √(1 -x/a)

y = bsin3t = b(3sint-4sin³t)
= b(4sint -4sin³t) -bsint
= 4bsint(1-sin²t) -bsint
= bsint{4(1-sin²t) -1}
= b√(1-x/a)･(4x/a -1)

概略です
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(1)

3倍角の公式より(使えなければ2倍角と加法定理で)

　sin3θ＝2sinθ－sin³θ
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(2)
　0≦t≦π/3　のとき
　　x＝acos2t　･･･　①
　　y＝bsin3t　･･･　②

　0≦t≦π/3　より、

　　1/2≦cosθ≦1、0≦sinθ≦√3/2、

　　－a/2≦x≦a、0≦y≦b　

　①より、x＝a(1－2sin²t)　で、sinθ＝√{(a－x)/2a}

　②より、y＝b{2sint－sin³t}＝(b/2a²)(2x＋a)√(－2ax＋2a²)

　よって、

　　y＝(b/2a²)(2x＋a)√(－2ax＋2a²)　(－(1/2)a≦x≦a)
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(3)
　y'＝－3a(2x－a)/√{2a²－2ax}

　y'＝0　のとき、x＝a/2　このとき、y＝b

　●x＝－a/2　････････････････････　y＝0
　　－a/2＜x＜a/2　･･･　y'＞0　･･･　yは↑
　　x＝a/2　･･････････　y'＝0　･･･　y＝ｂ
　　a/2＜x＜a　･･･････　y'＜0　･･･　yは↓
　　x＝a　････････････････････････　y＝0
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(4)
　π∫y²dx＝－(πb²/4a²){2x⁴－3a³x²－2a³x}＋C

　{－a/2〜a}[－(πb²/4a²){2x⁴－3a³x²－2a³x}]＝(27/32)πab²
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のような感じになると思います