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h=1/nπとするとlim[h->0]sin(1/h)=lim[n->±∞]sin(nπ)=0
h=1/(2n+1/2)πとするとlim[h->0]sin(1/h)=lim[n->±∞]sin{(2n+1/2)π}=1
となってhのとり方で収束値が異なります. したがって収束しないといえます.
十分小さなhに対して-1≦sin(1/h)≦1がいえるので, この範囲で振動するということもあります.
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hsin(1/h)ははさみうちの原理[補題]を利用すれば収束がいえます.
-h≦hsin(1/h)≦h, lim[h->0]-h=lim[h->0]=0なのではさみうちの原理からlim[h->0]hsin(1/h)=0です.
[訂正]
hは正である必要がないので, 下のように書き換えておいてください.
0≦|hsin(1/h)|≦|h|[絶対値をとっておく], lim[h->0]|h|=0なので, はさみうちの原理からlim[h->0]hsin(1/h)=0.
わざわざありがとうございます！
はさみうちの原理ですね！解決しました！ありがとうございます!!