確率でやるなら…
事象aが起こったときの事象bが起こる条件付き確率Pa(b)
Pa(b)=P(a∩b)/P(a)
(もちろんPa(b)=|a∩b|/|a|でもいい).

この問題ではPb(a)を求めるので、
Pb(a)=P(a∩b)/P(b).
<事象A>
サイコロ3個すべて異なる目が出る
→6つの数字から3つ選んで並べるのと同じ
P(a)=₆P₃/6³=120/216[=5/9]
<事象B>
少なくとも1つは1の目が出る
→「まったく1の目が出ない」の余事象
P(b)=1-5³/6³=1-125/216=91/216
<事象A∩B>
少なくとも1つは1の目が出て、すべての目が異なる
→1の目が出るサイコロの選び方は3通り、他のサイコロはそれ以外の5つから2つを選んで並べる
P(a∩b)=3×₅P₂/6³=60/216[=5/18]

Pb(a)=P(a∩b)/P(b)
=(60/216)/(91/216)=60/91.

※<事象a∩b>の別解
余事象を考える。
3個のサイコロどれも1の目以外の異なる目が出る(aは起こるが、bは起こらない)
→1以外の5つの数字から3つを並べる
P(a∩b')=₅P₃/6³=60/216[=5/18]
aが起こる確率P(a)から、aは起こるけどbが起こらない確率P(a∩b')を引けば、aが起こってbも起こる確率P(a∩b)になる。
P(a∩b)=P(a)-P(a∩b')
=120/216-60/216=60/216[=5/18]

条件付き確率の意味をよく考えましょう.
***
まず前提として, 事象B: 少なくとも1個は1の目が出る, があります.
この組み合わせは, すべての組み合わせから1の目が出ない組み合わせを引いたものと等しいので
6^3-(6-1)^3[1から5までしか出ないということです]=91通り.
事象Bの下で事象Aが起こる[これが条件付の意味です. A⋂Bに相当します], これは1の目が出て,
残りが他の異なる目同士[たとえば2, 3]が出ることなので, 組み合わせは
C(3, 1)[3つの目の組み合わせ]*5[1以外のどれか]*4[それ以外のどれか]=60通りです.
以上から求める確率は60/91になります[全体集合は同じなのでわざわざ確率同士の比をとる必要はありません. [注]参照].
***
[注]
組み合わせを#, 全事象をUで表すことにします.
P(B|A)=P(A⋂B)/P(B)=(#(A⋂B)/#(U))/(#(B)/#(U))=#(A⋂B)/#(B)
となるので組み合わせの比で十分です.