A,Bの2人がゲームを行い,勝者が敗者から1円をもらうという試行を,一方の所持金が0円になるまで繰り返す。
2人の所持金の合計はm +n円であるとし,各回のゲームでAの勝率はa,Bの勝率はb(0<a≦b<1)であり,引き分けはないとする。Bの所持金がk円になったときにBが最終的に破産する確率Pkとおく。
(A)Pk＝aPk−1 +bPk＋1(k≧1)が成り立つことを証明せよ。
(B)Aの所持金がm円,Bの所持金がn円であるとき,Bが破産する確率Pnをa＝b＝1/2として,次の手順で求めよ。
(1)Pk＋1−αPk＝β(Pk−αPk−1)を満たす定数α,β(α≧β)を1組求める。
(2)P0＝1,P(m＋n)＝0であることを利用して,c＝P1−P0の値を求める。
(3)Pnを求める。
(例題)