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3 自学
図形と計量
△ABC において、AB=2√3, BC = 2, LC = 120°である。
(1) ∠A の大きさを求めよ。 また、CA の長さを求めよ。
◆ 正弦定理
BC
sin A
=
AB
C
2
2√3
2
より
120°
=
sin C
sin A
sin 120°
・B
よって sin A = 2 +2√3
V3
2√3
2
=
2
0° < 4 < 60°より ∠A = 30°
また、 ∠Bも30°で△ABC は CA = CB の二等辺三角形だから
CA = 2
(2)△ABCの面積をSとするとき、Sを求めよ。
三角形の面積の公式
S
=
1
1
・CA・CBsin C=
2.2sin120°= √3
2
2

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(3)△ABC の内接円の半径を rとするとき、 rを求めよ。 また、
△ABC の内接円の中心を I 外接円の中心を0とするとき、線分 OI
の長さを求めよ。
内接円の半径
r
I
r
△ABC = △ABI + △BCI + △CAI
だから
13
√3 = 1 · 1 · (2√3 +242)
よって
√3 √(√3-2)
=
r =
2√3-3
3
=
√3+2 (√3+2)(√3-2)
正弦定理
△ABC の外接円の半径をRとすると、 正弦定理により
BC
2R =
= 2 ÷
=
4
∴.R=2
sin A
2
よって、四角形 AOBC はひし形で、その対角線の交点をM とすると、
内心Iは CM 上にあるから お絵かき略)
1
OI = OM + MI
--
2
1
R+r=÷2+(2√3-3)=2√3-2
2
B