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高校生

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数学

関西学院2025 数学

124

hoka95

2026.01.08 公開

関関同立 2025 過去問過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

2025-(A(理系))
■数学問題
15:00~16:30 (90分)
受験についての注意
1. 試験開始の合図があるまで、問題を見てはいけません。
2.数学の試験用紙は、問題用紙1部 (12ページ)、 記述式解答用紙 (あ)1枚、 記述式解答用紙(い)
1枚、 記述式解答用紙 (う) 1枚、 記述式解答用紙 (え) 1枚から構成されています。 過不足が
あれば監督者に申し出てください。
なお、記述式解答用紙はセットになっています。 監督者の指示に従って、解答用紙を破ったりし
ないよう注意して、ミシン目に沿って1枚ずつ切り離してください。
3.試験中に試験用紙の印刷の不鮮明、 ページの欠落、 乱れおよび解答用紙の汚れなどに気づいた場
合は、監督者に申し出てください。
4. 監督者の指示に従って、 記述式解答用紙 (4枚) の受験番号の記入欄に受験番号をそれぞれ2カ
所(計8カ所) 記入してください。 また、 氏名欄に氏名をそれぞれ1カ所 (計4カ所) 記入して
ください。
5. 解答はすべてHB の黒鉛筆またはHBで0.5mm以上の芯のシャープペンシルで記入してくだ
さい。
6.解答用紙は丁寧に取り扱ってください。
7. 解答は、解答用紙の問題番号を十分に確認のうえ、解答用紙の各問指定の枠内に記入してくださ
い。 解答用紙の裏面にはいっさい記入してはいけません。 下書きなどには問題用紙の余白を利用
してください。
8. 解答中以外の解答用紙は必ず裏返しに置いてください。
9. 受験中は不審な行動をとってはいけません。 不正行為があれば当該年度の全入学試験を無効とし
ます。
10. 試験時間の途中で退場することはできません。
ただし、気分が悪いなど身体の調子が悪くなった場合は、手を挙げて監督者に申し出てください。
11. 試験終了の合図と同時に解答をやめてください。
12. 問題用紙は試験終了後、 持ち帰ってください。
-数(A (理系)) 1

ページ2:

各問題の解答は, 解答用紙の同じ問題番号のついた枠内に記入すること.
枠外および問題番号と異なる番号のところに書かれた解答は,採点の対象にはならない.
(1)
次の文章中の
に適する式または数値を, 解答用紙の同じ記号のついた
よ. 途中の計算を書く必要はない.
の中に記入せ
(1) 11本のくじの中に当たりくじが3本ある. この中から同時に2本のくじを引くとき2本と
も当たりくじである確率はア である.
(2) 2 = X とおくとき, 4+ 2+1 - 8 - 16 - 2 - を X の式で表すと, イ となる. したがって,
4 + 2+1 - 8 -16.2 =0を満たすæの値は,æ= ウ である.
(3)等式
3x²-2x+4
A
B
C
+
+
(x+1)(x-1)2
がæについての恒等式となるように定数 A,B,C
+1 x-1
(x-1)2
の値を定める。 このとき, A = I B = オ C = カ である.
(4) 複素数平面において, 点 z が原点を中心とする半径1の円上を動くとき, w=i(2z+ 3) は
点
キ
を中心とする半径 ク の円をえがく.
-数 (A (理系)) 2-

ページ3:

(2)
次の文章中の
に適する式または数値を, 解答用紙の同じ記号のついた
よ. 途中の計算を書く必要はない.
の中に記入せ
次のような群に分けられた数列を考える.
1
1 2
1 2 3
2'
3'3'
"
4 4
4
} } ] } } } } |
1 2 3 4
5 5
第1群
第2群
第3群
第4群
すなわち第n群は, 分母が n+1で分子が1からnまでの分数を,約分できるものも含めて小さい
順に並べている.
(1) 第15項は ア
7
26
ウ であり,第群に属するすべての項の和は I である.
であり, は第 イ 項である. また, 第6群に属するすべての項の和は
(2)
初項 1 から第m群の最後の項までのすべての項の和を Sm とすると Sm オである.
=
(3) 初項から第n項までの数列の和が初めて 2025 をこえるのは第n項が第 カ群に属すると
きである.
(4)
第m群のうち値が1/2以下の項の和をUm とする.U7=
大値は ク である.
キ
である. Um <3となるmの最
数(A (理系)) 4

ページ4:

(3)
次の文章中の
よ.途中の計算を書く必要はない.
に適する式または数値を, 解答用紙の同じ記号のついた
の中に記入せ
n = 2,3,4 に対して, 関数fn(x) = (≦x≦)を考える.また,
曲線 C3:y = f3(x) および曲線 Cay=f(x) を考える.
sin nx
sin x
において,
sin2x
sin 3x
(1) fn(x) を cosx の式で表すと, f2(x) =
ア
===
COSπ, f3 (π)
=
イ
cos2x-1,
sin x
sin x
sin 4x
f4(x)
ウ | cosx-4 cosz である.
sin x
(2) Sfs(r)d=
I
+ C (C は積分定数) である. 曲線 C3 と 軸の交点の座標は オ 0
である. 曲線 C3, x軸および直線æ= で囲まれた部分の面積は カ である.
(3)Jf(x)d
キ + C'"'(C''は積分定数) である. 曲線 C4 と æ 軸で囲まれた部分の面積は
ク
である.
-数 (A (理系)) 6
1

ページ5:

〔4〕
三角形 OAB において, OA = 2,OB = 4,AB=5 であるとし,辺AB を 1:3に内分する点をDと
する.また,点Aから直線 OD に下ろした垂線を AH とし, 線分 OD をt: 1 -t (0 <t < 1)に内分
する点をPとする。OA=d,OB = とするとき,次の問いに答えよ.
(1)の値を求めよ. また, 線分 OD の長さを求めよ.
(2) OH を abを用いて表せ.
(3) APをd,it を用いて表せ.
(4)
AP .BPが最小となるときの tの値を求めよ。 また、そのときのPHの長さを求めよ。
-数(A (理系)) 8

ページ6:

[1] (1)
当たり3
はずれ8
(2)
計
11本から2本
11.10
"1
Cz
=
55
2
3本から2本
当たり
3
C2
=
3
C₁
=
=3
確率は
3
ア
55
=
2× =x
4x+2
x+1
8
(2³)*+2*-2'-8
-
16.2-m
16
= (2*)² + 2.2* -8-
=
X
+ 2x
-
8
16
×
2"
16
2*
☑
3
+ 2x
+ 2x
2
-
8
-
8x
-
16
X
16
=0
=0
イ
X=-2のとき
(-2)+2(-2)-8(-2) - 16
=
-
28
+8
+ 16
-
16
=0

ページ7:

(x+2)(x²-8)=0
X = =
X =
-2,
- 2,
X
² = 8
✗
= ± 8
=
-
2,
X = 2* > 0
なので
x =
2"
=
X = ± 2/2
2/2
22
= 2' 2³
=
2
=
x
=
3
(3)
3x² -2x+4
(x+1)(x-1)²
3x² - 2x + 4
=
2
-21
2
- 2
-
8
-16
16
I
0
-8
A
B
C
=
+
+
x + 1
x - 1
(x-1)²
x=-1のとき
3 · (-1) - 2. (-1)+4
3 + 2 +
9
4 A
A
A(x-1)²+ B (x + 1) (x-1) + ( (x + 1)
=
A (-1-1)² + 0
0
4
=
A1-212
=
4 A
=
9
9
=
+
0
+
C (1+1)
=
2 C
=
2 C
5
x=1のとき
3.12
3
-
2.1 +4
+ 4
5
2 c
C
= 0
=
=
5
①

ページ8:

2
=
A. 1
+ B⋅(-1)
+ C. |
①の定数項は
4
+
♡
(4)
w
w
1
=
3
5
+
5
2
+
4
2
10
16
+
4
4
1|49|4
3
9
A = 2
4
B
3)
z|
=
=
=
1
7122
+
22+3
22+3
=
31~3
22
=
2
3
=
94
5
C =
22
2 =
より
13
2 i
30
w 3
w
i
-
2 i
=
31
|w3i| = |2i|
| 2 |
=
| w
Bil
= 2
1
エオカ

ページ9:

w は 点
3を中心とする
キ
半径2の
円
ク

ページ10:

[2](1)第5群まで
1 + 2 + 3 + 4+5=15
(個)
よって第15項は第5群の
第5項
5
5
=
ア
5+1
6
第n群の第k項は
k
ntl
7
は
第25群の第7項
26
第24群の最後の頃まで
1 + 2 + 3 +
+ 24
24・25
=
2
24 (24+1)
2
=
12.25
=300 (個)
7
は
300+7=307
26
第307項
イ
2
3
4
+
++
第6群の和
==
7
+
21
7
7
第m群
3
+
5
6
+
7 7 7
の和
2
3
m
+
+
+
m+l
m+1
m+1
m+1

ページ11:

m(m+1)
=
m
m+1
2
(2)
(1)の I
より
Sm=
2
(4)
I
2
+
2
2
3
m
+
+
+
2
2
m(m + 1)
m(m+1)
2
2
(3)
第η
4
n項が第群に属するとすると
(2)より
Sm > 2025
M (m+1)
> 2025
m(m + 1) > 8100
89
90
=
8010
=
90.91 8190
m=90のとき
第90群
2
U₁ =
=
8
10
+
8
+
105
3
8
不等式を満たす
キ
オ

ページ12:

[-]
m
が奇数のとき
Um
m+1
=
m+1
2
3
+
+
+
+
m+1
mtl
m+1
m+l
2
+1)
2
2
mtl
2
m+3
2
2
=
m+1
m +1
m+3
8
(m+1) (m + 3)
8
Um < 3
とすると
m+3
くろ
8
m+3
<24
m
<21
mは
奇数なので
大値
19
①
mの最
[2]が偶数のとき
m
2
Um
+
m+l
3
+
m+ l
m +1
2
m+l
m
m
+
2
.1)
2
m+1
2
m
m+2
2
2
m+1
2
m
m+2)
m +1
=
m m+2)
8(m+1)
m+1
2
m+)

ページ13:

Um
m (m+2)
8(m+1)
8(m + 1) > 0
M
くろ
とすると
くろ
なので
m(m+2) < 3.8(m+1)
m
+2m <24m +24
+2m-24m 24 <0
-
22m -24 <O
m²
m
mam
22 ) <24
22m<24
23
(23-22)=23.|
24124. 22) =242
不等式を満たすmは
=
23
=48
m<23
mは偶数
なので
mの
最大値は
22
②より
求めるmの最大値は
22

ページ14:

[3]
n = 2,
3
4
Lin nx
π
n
C 3:
C 4:
y
=
sin x
₤3(x)
y = f (x)
4
(1)
f2(x)=
(2)
₤3(x)
=
Lin 2x
2 sin x cos x
=
= 2 cos x
ア
Sinx
sin x
sin 3x
Sin x
=
sin 2 x cos x +
sin (2x+x)
Sinx
cos 2x sin x
Lin X
2 sinx cos x
=
cos x + (2 cos³ x-1) sin x
Lin X
=
2 cos² x +
2 cos² x
-
=
4 cos² x
- 1.
fa (x) =
sin 4x
=
Fin K
2 din 2x cos 2x
Sin x
2.2 sinx cos x
12 cos²x
1)
fin x
=
4 cosx (2 cos² x
-
1)
=
8 cos³ a
× cos x
| fx (x) dx = √ (4 cos³ x − 1 ) dz
J
=
=
=
114
-
cos 2x + 1
2
1 ) dx
{2 (2x+1)-1) dx
| 12 cos 2x + 2
- 1 ) dx
=
(2 cos 2x + 1) dz
ウ
T

ページ15:

=
pin 2x + x + C
I
C 3:
C
y=f(x)
=
4 cos³x - 1
(1))
交点のx座標は
軸の
イよりノ
方程式 f(x) =0の解と一致する
f3(x)=0
4 cos² x -1 = 0
4 cos'n
cos² x
x =
1
4
cos x = ±
-|~
1/
2
≤ x ≤
より
6
x =
2
3
2
( 130 )
オ
y
求める面積をSとする
S
= ff
=
f(x)dx
fin lx
+ x ] [
(エより)
T
+
3
=1sin
B3
2
2π
fin
厚
3
+
兀
7C
兀
+
3
2
6
0
|-|~
Im
1
x
x

ページ16:

2π
元
6
6
π
(4)
S fx (x) dx =
=
=
-
4 cos x) dx
18 cos³×
S 4 cos x ( 2 cos' X
-
× S {2 (1- sin³x) -1}
1 ) dx
cos x dx
4/12 2 sin x - 1 ) cos x dx
-
-
2 sin x) cos x dx
=
=
4/11
=
4 | | cos x
=
4
COT X
-
2 sin²x cos x) dx
((1) ウより)
x (sinx
=
4 Sin x
8
-
-
2 sin's (find) } do.
2
± sin' x ) + C
3
+ sin x + c'
3
f4 (x)
=
8 cos³ x
-
4 cos x
14
(x) =
8.3 cos²x
( cos x)' - 4 (- sin x)
f'x (x)
L
=
24 cos
xl-Sina)
+ 4 sin x
=
24 cos² x sinx
+
4 sin X
=
4 Fin x 1
-
6 cost x
+-)
=
0
とすると
4 sinx (- 6 cos² x + 1) = 0
Lin X
= 0
-6 cos' α=-1
sin x =
0
cos" x = ——
キ

ページ17:

1ō
Linx =
0,
cos x = 1
==
兀
を入
6
* EAST +1
より
Linx0
2
fx (x)の増減表
x
f(x)
f(x)
fx (x)
8 cos'
cos³
x
T
6
-
d
0
πC
2
+
ア
+7
=
0
のとき
4 cos x
=
-
4 cos x 12 cos² x - 1) = 0
cos x
=0
2 cos x = 1
I
cos x =
0,
2
cos x =
0
cos x = ±
,
Cos
x =
6
この解をのとおく
元
cos
6
=
CUT α
=
CUT X 20
3/3
/27
2
6
6
>
16
6
cos d
6
<
<
元
2

ページ18:

兀
元
sxs
なので
2
01=0
Los x =
Cos
πC
4
x=
ノ
12
元
4
2 3/2
13/1
Cos
118
6
大
4
2
>
=
6
cosα
6
=
6
π
4
<〆く
兀
2
ry
K
K
C4
Cy: y=fe (1) のグラフは
右
の ようになる
の
C4
とX軸
で囲まれた部分は
の斜線部分
で
積を54
とおくと
S4
f(x)dx
A
8
=
[4Dinx
sin³ x ]
(キより)
3
a
2
KN
2
=
8
-(14-3-3) -
-〔14-
8
14/-]
姫
-
=1号) ( 4/2
3
-
(
2
-
3
3
22
}

ページ19:

ページ20:

[4] (1)
ab
= 2.4
COT LAUB
LAOB
=
おく
余弦定理より
2.2.4 cos O
16 cos 0
2
2
=
52. +4
2
25
=
4+16
-
=
20
-
25
16 ws 0
16 cos 0
=
-
5
5
Los O
=
16
2
P
+
T
A
D
より
=
2.4
+ -
5 ) =
-
112
AB を
内分する点より
1:3に
3ä
OD
=
2
| OD | = |
+
.1.5
1 + 3
a
+
=
=
3
a +
✓ 6
2
=
5|2
13a
+
UT
5
4 b
③
(谷)
1192
2
(95+605- 151')
16 (9-2² + 6 (-3) + 4 *
+61 )+4
2
136 15
+16)
16
37
=
16
37
16
137
(答)
4
B

ページ21:

(2)
H 12
ODE の点より
実数を用いて
-
OH
= SOD
=
3
a +
4
35
N
A
AH
=
=
OH
35
4
3S
-
-
―
σA
a +
4
S
4
a +
-
b
2
P
t
4 b
D
5
③
B
AH I OD より
35-
(
4
AH
OD = 0
3
111-92 + 1) - 1/2 + (i)-o
4
a
( (35-4) ā
2
=0
+ s b ( 3 ã + B ) = 0
b
161
(95-12) ā + ( 35 - 4) ā · Ï + 3 5 ã b + s b = 0
|
2
(95-12)-2+(65-4 ) ( − 5 ) + 5 - 4 ² = 0
-
365 48
-
-
(35
-
5
2)
+ 165
= 0
365
-
48
373
-
-
155 + 10
38 = 0
375
S
=
= 38
38
37
+165
= 0
より
OH
=
3 38
1
38
+
4
37
37
b
=
57
-1
a +
74
19
(答)
74

ページ22:

(3)
P 12 OPを
t: |- t に内分する点
OP
=
top
=
t (
3t
3
4
a +
t
* * * * 1 1
+
AP =
=
OP
3t
4
-
O A
a +
t
3t
- 4
4
b)
18
a
+
ty
4
13
TO
(答)
(4)
BP
=
3t
4
3t
-
OB
+
t
4
t - 4
a
+
L
-
ō
(⑤より)
こ
AP BP
3 t
4
t
3t
t
=
ā + + - 4 5 )
4
-11-2015)
=
=
+
4
— — ( 1 ³ t - 4 ) ä + t b } { } t ä + ( t − 4 ) b }
{ 3
2
-
11 / ({ (9 t - R+) | a | ³ + ( st² - 12 t − 4 t + 16) ā b
16
2
+ St
a.
b
(1-4)151 3
16 ( 19t -1201-2² + ( 6t² - 16 t + 16)-(-5) + (t²-41)-4*)

ページ23:

=
11/16 ( 3 6 t² - 48 t - 15 t² + 40t - 40 +16ピー64t)
= 1/16 (370-720-40)
1/1377/27t)-40}
=
16
[37/17-
36 2
362
=
16
37
372
}-40]
16
赤1371-1
36
2
36°
-40}
AP BP
tの値は
が最小となるときの
op
=
(2)より
OH
=
PH
36
t
()
37
top
=
36
37
0
38
sop=3700
=
OH
OP
=
38
2
10-11
37
37
36
=
37
|PH|
=
2
σ D|
=
2
100|
37
2
・
=
37
337
(答)
37
4
74
((1) より)