ページ3:

(2)Kの8個の頂点のうち, 相異なる3点を選ぶ操作を2回行う。 ここで, 1
回目に選んだ頂点を2回目に再び選んでもよいものとする。 例えば、1回目に
AとBとCを選んだとき 2回目にAとBとDを選んでもよいし、AとB
とCを選んでもよい。
1回目の操作で選んだ3点を頂点とする三角形を T, とし、2回目の操作で
選んだ3点を頂点とする三角形を T2 とする。
T と T2 が共有する頂点の個数をnとする。 例えば,T の頂点がAとBと
Cで, T2 の頂点がCとDとEである場合は, n=1となる。
(a) n=0となる場合はコサシ通りある。
6-
([I]の問題は次ページに続く。)

ページ4:

(b) n=2となる場合はスセソ通りある。
(c) Tの頂点と T2 の頂点からなる集合が { A,B,C,D,E,F } であるとき,
(d)
n=0となり,かつ, T, の辺と T2 の辺が交わらないような場合はタ通
りある。
n = 0 となり,かつ,T の辺とT2 の辺が交わらないような場合は
チツテ通りある。
-7-

ページ5:

(II)
0 を原点とする座標空間に, 3点
A(6,2,0), B (2,6,0), C(2,4,2)
がある。
ベクトル OAとOBの内積は,
である。
OA OB = アイ
三角形 OAB の内角∠AOB の大きさを0とする。
ウ
cos 0 =
I
であり,三角形 OAB の面積はオカである。
- 8-
( [II] の問題は次ページに続く。)

ページ6:

線分ABを1:3に内分する点をDとする。
Dの座標は, D キ ク 0 ) である。
'
直線 BC上に点Eがあり,Eは, OE AB = 4 を満たすとする。
r を実数とする。
.
OE
==
OB + BC
ケ
とすると,r=
である。
コ
-9-
([II]の問題は次ページに続く。)

ページ7:

点Cからxy 平面に下ろした垂線と, xy 平面の交点をHとする。
直線 CH と平面 ODE の交点をFとする。
s, t を実数とする。
OF = sOD + tOE
サシ
セソ
とすると,s=
t =
である。
ス
タ
Fのz 座標は
である。
テ
-10-
[II] の問題は次ページに続く。)

ページ8:

四面体 OABCの体積をV, 四面体 ODBFの体積を W とするとき,
W
V
==
ト
ナ
である。
-11-

ページ9:

αβを正の実数とし,m, n をそれぞれm>1,n>1を満たす実数とする。
a,B,m, n はさらに,
2a + B =
tan α =
1
4
m
1
tan B
12
を満たすとする。
(1)=2のとき,
である。
cos2 B =
ア
'
cos (28) =
ウエ
-12-
( [Ⅲ〕の問題は次ページに続く。)

ページ10:

(2) 加法定理より
tan (-2)-
=
カ
である。
ただし, オ
を選べ。
|カについては、以下のA群の①~⑧からそれぞれ1つ
A群
①
tan a
(2
- tan a
(3)
1 - 2 tan a
④
1 + 2 tan a
⑤⑤
tan (2α)
(6)
-tan (2a)
⑦
1-tan (2α)
⑧
1 + tan (2a)
tan (2α) をm の式で表すと.
キ
tan (2α) =
ク
となる。
ただし, キ
クについては、以下のB群の①~⑧ からそれぞれ1つ
を選べ。
B 群
①
m
2
2 m
(3 2m²
4
4m
(5)
m²+2m-1
⑥ m² -2m-1
7
m²-1
⑧
m² +1
-13-
( [Ⅱ] の問題は次ページに続く。)

ページ11:

兀
tan B = tan
24 ) であるから,
1
をmの式で表すと,
4
n
1
ケ
n
コ
となる。
ただし,
については, 13ページのB群の①~⑧からそれぞ
れ1つを選べ。
-
ケ
= サ
である。
ただし, サについては, 13ページのB群の①~⑧ から1つを選べ。
である。
サ
n=1+
ケ
- 14-
([Ⅲ〕の問題は次ページに続く。)

ページ12:

n>1であるから, サケは同符号である。
である。
0
ただし, シについては、以下のC群の① ② から1つを選べ。
C群
(1 >
>
>1であるから, 不等式の解は,
である。
+ セ
-15-
ii
[Ⅲ〕の問題は次ページに続く。)

ページ13:

(3) n が整数であるとする。
n≧2であるから, ⓘより,
サ
ケ
である。
ただし,
ソについては、以下のD群の① ②から1つを選べ。
D 群
②2
S
(4)m>1,n> 1, および ⓘ を満たす整数m と整数nの組 (m,n) のうち,
mが最大であるような組は
である。
(m,n) = タ |チ
-16-

ページ14:

次の問題 [Ⅳ] は, デザイン工学部システムデザイン学科, 生命科学部生命機能学
科のいずれかを志望する受験生のみ解答せよ。
〔IV〕
関数f(x) を.
f(x) = x3 - 5x2 + 3x
とし,座標平面上の曲線y=f(x) を C とする。
f(x) の導関数をf'(x) とする。
x>0において, f'(x) = 0 となるxの値は,
である。
ア
x=
ウ
ア
ただし,
<ウとする。
イ
-18-
〔IV〕の問題は次ページに続く。)

ページ15:

ア
(1)
は, f(x) のエ
°
ただし, エについては,以下のA群の①~③から1つを選べ。
A群
① 極大値である
(2)
極小値である
③ 極値ではない
ア
は,x≧0 における f(x) のオ。
イ
ただし, オについては,以下のB群の①~③から1つを選べ。
B群
① 最大値である
② 最小値である
(3) 最大値でも最小値でもない
ウ は, f(x) のカ
°
ただし,
f(
|カについては,上のA群の①~③から1つを選べ。
は,x 0におけるf(x)のキ。
ただし,
キについては,上のB群の ①〜③ から1つを選べ。
- 19-
(〔IV〕の問題は次ページに続く。)

ページ16:

(2)
α を実数とする。
xの方程式
x3 -
5x2 + 3x = a
i
を考える。 ⓘ の, 0以上の異なる実数解の個数をn とする。
n=0であるのは,a <クのときである。
•n=1であるのは, a = ク またはケ <αのときである。
•n=2であるのは, ク <a<コ またはα=ケのときである。
•n=3であるのは. コ≤a<ケのときである。
ただし, ク
〜
については,以下のC群の①~⑥からそれぞれ1つ
を選べ。 ここで,同じものを何回選んでもよい。
C群
④
0
アイ
ア
① 1
② f(1)
イ
ウ
⑥ f
-20-
[ⅣV] の問題は次ページに続く。)

ページ17:

(3) C, 点A(2.f(2)) における接線をl とする。
の方程式は、
y =
サシ
x+
ス
である。
Cl の A以外の共有点をBとする。
Bのx座標はセである。
ただし, セについては,以下のD群の⑩~⑨から1つを選べ。
D群
① 0
(1) 1
(2)
④
4
⑧
3-2
9
1|25|3
1|32|3
(3)
3.
43
ソタ
C と l, および2直線x= 0, x=1で囲まれた部分の面積は,
で
チツ
ある。
-21-

ページ18:

「次の問題 [V] は, デザイン工学部システムデザイン学科, 生命科学部生命機能学
科のいずれかを志望する受験生のみ解答せよ。
〔V〕
k を実数とする。
3次方程式
x3 + kx2 +1 -k = 0
は,x = -1を解にもつ。 また, ⓘは3重解をもたない。
①が2重解をもち, x=-1が①の2重解であるとき,k= アである。
ただし, アについては、以下のA群の~⑨から1つを選べ。
A群
(
-3
0
①
1
(2
2
(3)
3
-1
-2
3
1
⑦
(8)
(9)
-
2
2
3
2
(6)
12
①が2重解をもち, x=-1が①の2重解ではないとき, k= イ または
k = ウである。
ただし,
<ウとし,
ウについては,上のA群の日~⑨か
らそれぞれ1つを選べ。
-22-
([V] の問題は次ページに続く。)

ページ19:

ウを. 小さい順にA, B, Cとする。
① が異なる3つの実数解をもつようなkの範囲はエであり, ⓘが虚数解
をもつようなんの範囲はオである。
ただし, I オについては、以下のB群の〜⑨からそれぞれ1つを
選べ。
B群
'
© A<k<B
① A <k <C
(3)
k<B,C <k
⑤ A <k < B, C <k
⑦ A <k <B.B <k <C
⑨ k<A, A <k <B,C <k
①B <k < C
② k <A.B<k
④ k <A,C<k
⑥ k <A.B <k <C
⑧ k <A, B <k < C. C<h
-23-
([V]の問題は次ページに続く。)

ページ20:

(1)k は,A, B, C と異なる実数であるとする。
このとき, ⓘは, 異なる3つの解をもつ。
a,βを異なる2つの複素数とし, ①の異なる3つの解を, -1, α,βと
する。
α2 + B2 は, k =カのときに最小となり 最小値はキである。
ただし、 キについては,以下のC群の⑩~⑨から1つを選べ。
C群
(0)
-5
(1) 1
(2)
2
(3) 3
④
4
(5) 5
(9)
-1
⑦
-2
(8)
・3
-4
k=
とする。
α3 + B3 = ク
である。
ただし, クについては,上のC群の⑩~⑨から1つを選べ。
-24-
([V] の問題は次ページに続く。)

ページ21:

(2)kは,A,B,C と異なる実数であり, かつk>0を満たすとする。
このとき, ⓘは, 異なる3つの解をもつ。
α, β を異なる2つの複素数とし, ①の異なる3つの解を,-1,α,β と
する。
I=
2α2 + 2β2 +5
1- aß
とする。
I を k を用いて表すと,
となる。
I= ケ k +
k
サ
I は,k=
のときに最小となり、最小値はス セ
である。
シ
-25-

ページ22:

次の問題 [VI〕は,情報科学部ディジタルメディア学科, デザイン工学部都市環境
デザイン工学科, 理工学部機械工学科機械工学専修・応用情報工学科のいずれかを
志望する受験生のみ解答せよ。
〔VI〕
eを自然対数の底とする。
関数f(x) を,
f(x) = x(x-4)e^x
とし,座標平面上の曲線y=f(x) をCとする。
(1) f(x) の極限値について,
lim f(x) = ア
+
lim f(x) =
x→∞
x"
である。ここで,必要ならば、正の整数nに対して lim =0が成り立つこ
xo ex
とを用いてもよい。
ただし, ア |イについては,以下のA群の~⑨からそれぞれ1つ
を選べ。 ここで,同じものを何回選んでもよい。
A群
1
0
(1) 1
・3
(3)
3
4
(5
-4
(7)
e-1
(8)
8
(9)
18
-26-
([VI〕 の問題は次ページに続く。)

ページ23:

(2) f(x) の導関数をf'(x) とする。
f'(x) = - 2_
· (x².
ウ x +
である。
f'(x) = 0 となるxの値をα, β とする。 ただし, α < β とする。
f(x) の第2次導関数をf'(x) とし, f'(x) = 0 となるxの値をx, 8 とする。
ただし,y < 8 とする。
y = オ
-
|カ
である。
-27-
([VI〕 の問題は次ページに続く。)

ページ24:

4個の実数α, B, r, δを, 小さい順にp,g,r,s とおく。
ここで必要ならば,
•√5の小数第3位を四捨五入した値は 2.24
・√6の小数第3位を四捨五入した値は 2.45
•√7 の小数第3位を四捨五入した値は 2.65
であることを用いてもよい。
f(x) の増減と, Cの凹凸は次のようになる。
• x <pにおいて, キ 。
• p < x < g において, ク
• g <x<rにおいて,
°
ケ。
●r<x<sにおいて, コ °
●s <xにおいて, サ
ただし, キ サについては、以下のB群の① ~ ④ からそれぞれ1つ
を選べ。 ここで,同じものを何回選んでもよい。
B群
① f(x) はつねに増加し, Cは上に凸である
② f(x) はつねに増加し, Cは下に凸である
③ f(x) はつねに減少し, Cは上に凸である
④ f(x) はつねに減少し, Cは下に凸である
([VI〕の問題は次ページに続く。)
28-

ページ25:

f (α) の符号を考える。
である。
f(α)シ 0
ただし, シについては、以下のC群の① ② から1つを選べ。
C群
(1) >
f(α) は, f(x) のス
。
(2) <
f(B) は, f(x) のセ
ただし, ス セについては,以下のD群の①~⑤ からそれぞれ1つ
を選べ。 ここで,同じものを何回選んでもよい。
D群
① 極大値であり, 最大値でもある
② 極大値であるが, 最大値ではない
③ 極小値であり, 最小値でもある
④ 極小値であるが, 最小値ではない
⑤ 極値ではない
-29-
([VI〕の問題は次ページに続く。)

ページ26:

(3) A を実数とする。
部分積分法を用いて,
Sx² + dx = x² + A √xe - dx
xdx= =
と表すとき, A = ソである。
Cとx軸, および2直線x= 0, x=4で囲まれた部分の面積は,
である。
ze + ツ
- 30-

ページ27:

次の問題〔VII〕は,情報科学部ディジタルメディア学科, デザイン工学部都市環境
デザイン工学科, 理工学部機械工学科機械工学専修 ・ 応用情報工学科のいずれかを
志望する受験生のみ解答せよ。
(VII)
対数は, 自然対数とする。
関数f(x) を,
COS X
f(x) =
(0 ≤ x ≤2)
sin x - 2
とし,座標平面上の曲線y=f(x) をCとする。
f(x) の導関数をf'(x) とする。
0<x<2πにおいて,
である。
ア sinx- イ
f'(x) =
ウ
( sin x − 2 )
- 32-
[Ⅶ] の問題は次ページに続く。)

ページ28:

0<x<2mにおいて, f'(x) = 0 となるxの値は,x = I
ただし, エ<オとし、 I
オである。
|オについては,以下のA群の~⑨
からそれぞれ1つを選べ。
A群
①
762354
π
π
(8)
43443
π
π
π
|27|6
7356 32
([VII〕 の問題は次ページに続く。)
-33-

ページ29:

f(x) の第2次導関数をf'(x) とする。
0<x<2πにおいて,
カ
sin x + キ
f'(x)
(sin x- 2)
ク
である。
ただし,
|カについては,以下のB群の~⑨から1つを選べ。
B群
sin x
(0)
COS X
(1)
sin x cos x
(2
2
(3)
2 sin x
4
2 cos x
(5)
2 sin x cos x
(6)
sin² x
⑦ cos' x
⑧
2 sin2x
9
2 cos2x
-34-
[VII] の問題は次ページに続く。)

ページ30:

0<x<2πにおいて, f'(x) = 0 となるxの値は,x= ケ
コである。
ただし, ケ<コとし,
コについては, 33ページのA群の
~⑨からそれぞれ1つを選べ。
-35-
([VI〕の問題は次ページに続く。)

ページ31:

f(x) の増減と, Cの凹凸は次のようになる。
π
•0<x<において
•
π
2
サ 。
2
において
シ
°
•π<x<2において, |ス。
ただし,
サ スについては,以下のC群の⑩~⑨からそれぞれ1つを
選べ。 ここで,同じものを何回選んでもよい。
C群
f(x) はつねに減少し, Cは上に凸である
① f(x) はつねに減少し, Cは下に凸である
(2)
f(x) はつねに減少し, C は変曲点をちょうど1つもつ
③
f(x) はつねに増加し, Cは上に凸である
④4)
f(x) はつねに増加し, Cは下に凸である
(5
f(x) はつねに増加し, Cは変曲点をちょうど1つもつ
6
f(x) は増加したのち減少し, Cは上に凸である
⑦ f(x) は増加したのち減少し, Cは変曲点をちょうど1つもつ
(8
f(x) は減少したのち増加し, Cは下に凸である
(9 f(x) は減少したのち増加し, Cは変曲点をちょうど1つもつ
-36-
( [VII〕の問題は次ページに続く。)

ページ32:

定積分
L
f(x) sin x dx の値をI とおく。
t = sinx とおいて置換積分を行うと
となる。
I=
dt
ただし, ソについては、以下のD群の~⑨から1つを選べ。
D 群
Ⓒ t-2
0 2-t
① t(t-2)
1
1
② t(2-t)
③
④
t-2
2-t
t
t
t2
(5)
(6
⑦
t-2
2-t
t-2
(8)
t
2-t
である。
1 = 3 -logチ
-37-
(以上)

ページ33:

[I](1)
(a)
8.7.6
8
C3
=
=
56
アイ
(d)
3.2.1
(b) A を頂角とする
二等辺三角形は
3通り
(c)
頂角となるのは
A~Hの
8通り
3×8
=24
ウエ
AEを斜辺とする
直角三角形は
A.E
以外の頂点
B,C,D
F,G,Hの
6個から
1個
選べばよい
6通り
オ
直角三角形の斜辺は
AE, BF,
4通り
CG, DH
(c)より
つの斜辺に対して
直角三角形は
6通り
4×6
=
C
C
B
A
D
E
H
A
B
H
G
G
D
F
A
H
B
24
カキ
D
E
F
5

ページ34:

(e)
A:
TP = 等辺三角形
B: Tが直角三角形
とおく
ドモルガンの法則より
A ^ B
=
AUB
n(AUB)=n(A)
+ n (B) - n (AnB)
AB
二
二等辺三角形であり
かつ直角三角形である
Aを頂とする
二等辺三角形のうち
直角三角形となるのは
一個
頂角が
B,C,D,E,F,G, Hのときも
同様
=
n(A~B)=1x8 8
H
B
G
D
F
E
n(AUB)
=
+n(B)
n(A)
-
n(AB)
24
+ 24
・8
((b)(c)より)
40
: n ( Ān B ) = n(AUB)
= n (U)
=
n(AUR)
56
- 40
=
16
((a)より)
クケ

ページ35:

(2) (1) (a)
n=0
T₁₁ とで
共通する頂点が0
T₁
の選び方
C 3
T2
の
選び方
Tで選ばれなか
2
た
5個の頂点
から3個選べばよい
5 C3
(b)
8
。 C z × 5 C z
8.7.6
5.4.3
=
X
3.2.1
3.2.1
=
56×
10
=
560
n=2
T₁
T2
の両方で
.
選ばれる頂点は
8C2 通り
選ばれた2個以外から
T. となる頂
占
は
6 通り
選ばれた2個
T.の1個以外から
Tとなるのは
5通り
8
↓
コサシ
TT2 共通
2 C₂
↓
T₁
1個
6
T1個
5
8C2×6×5
8.7
=
×6×5
2.1
=
28×30
=
840
スセン

ページ36:

(c) TuTz= = {A,B,C,D,E,F}
n=0
TTの辺が交わらない
B
A
H
D
F
G
T₁
T₂
(A.B.C}
{D,E,F}
B
H
{A,B.F}
(C, D, E ]
[A.E.F}
{B.CD}
G
B. C. DI
|A. E
f}
F
{C. D. E]
{D.E.F}
A.B.F3
A
A. B. C 1
B
H
6通り
(d)
n=0
Tie Tz a
辺が交わらない
8個の頂点から
6個の選び方
8C6
選ばれた6個の頂点に対して
n=o かつ TとT2 が交わらないのは
(C)より
6通り
・Co
×6
=
d
C2x6
8.7
×6
=
=
2.1
28×6
=
168
D
A
H
B
チッテ
F
E
G
G

ページ37:

[Ⅱ]
A (6.2.0)
B (2 6,0)
C
(2,4,2)
OA
.
OB
cos 0 =
=
6.2+2.6
= 12 + 12
=
24
+ 0 0
アイ
0A-OB
136+4
24
=
2X
2+02 2
=
14+36
24
3
40
5
24
14040
+
5² + 0'
ウエ
sin² 0 + cos³
=
・1より
sin² 0 = 1 - cos' O
=1-(1/2)
2
25
9
25
25
0°0 <180°)
16
25
sin 0 > 0
16
4
Lin O
=
25
5
SOAB = — 10A 10B | sin 0 =
・140・140
4
5
0
4
40
= 16
オカ
5
B

ページ38:

A 16.2 0 )
B (2 6.0)
AB を : 3 R
内分する点
D
3.6+1.2
3.2+ 1.6
30+1-0
D (
)
+3
| +
3
1+3
DI
18+2
6 +6
0 )
4
4
20
12
D
0 )
4
4
D
キク
O E =
=
( 5.3.0)
AB
=
4
OB + V B C
+ ✓ 100 OB)
0
=
+
r
- roß
=
11
-
r) O B +
roc
=
(1-r) (2,60) + r (2, 4, 2)
=
(2-2r,
6-60
.
0 ) + (2r,
48.25)
= 12,6 6-28, 28)
1
AB =
OE
=
=
AB
OB O A
(2.6.0)
1-4,4, 0)
-
(6.2.0)
=2(-4) + (6-2). 4 + 2r. 0
=
8 + 24 -
8
=
16
-

ページ39:

「
OE
AB
=
4
より
16-8r=
X
-8r
= -12
OE
+ =
12
8
3
=
ケコ
2
=
'
=
=
=
12
12,
6-28.
6
6
-
2
3
ノ
12 3, 3)
'
28)
31
2
'
3)
2
2
)
C
OF=
SOD
+ to E
=
5 (5, 3, 0) + t
(2, 3, 3)
=
( 5 S. 3 S. 0 )
+
(2 t, 3t,
3t)
=
(55 + 2t, 35 + 3 t, 3 t)
(2,4,2), H (2, 4, 0 )
Fは 直線CH上の点より
実数とすると
lを
OF
=
o c + l C H
=
σ C +
110H
0
=
+
=
=
loh - loc
11-1100 + 10H
(1-l) (2.4.2) + 1 ( 2, 4, 0 )
H
I J
0
0
77
H
=
12-21 4-41,
2-21) + (21, 41, 0)
= = 12.4. 2-21)
:
55 +2t
= 2
35 + 3t
=
4
E

ページ40:

(-
15S+6t
65
95
+6t
S
=
==
6
8
2
9
5.(-1/2)
・+2t
= 2
9
10
+2t
= 2
9
FのZ座標は
2t
10
2t=2+1
9
=
18
9
+
+
9
28
2t
9
14
t
9
2
14
t
サータ
9
9
14
14
3t=3
チーテ
9

ページ41:

面体 OABC
V
面体 ODBF
W
V
=
1
11
=
=
XO ABC X C H
• APC 2
3
1/3
AD: DB =
A B C
0
F (2.4
14
IC (2.4, 2)
-)
H
D3
A
.
3
より
3
3
AOP B =
A B C =
ABC
1+3
4
W =
1/3
X
ODBX FH
✓ ✓
3
SABC. 1 X
14
3
4
3
7
=
ABC
W
V
6
=
7
FoABC 7x6
T D A B C
2
7
ABC
=
2
予
× 6
ト
ナ
4
3

ページ42:

〔目〕
L, B
> O
'
m > 1, n > |
2 α + B =
兀
4
tan d
=
m
tan B
n
(1)
n
=
2
のとき
tan B
=
1/1
2
| + tan² ß
++
cos³ß
2
より
I
=
cos'ß
4
cos'ß
5
I
4
2
cos²,
=
cos'ß
4
アイ
5
cos (2B)
=
=
=
5
2 cos² ß - 1
3
$5
5
ウ
H

ページ43:

(2)
tan (+
4
こ
tan I
-
2α)
=
=
2
tan(20)
1 + tan π tan (2α)
1 +
-
tan(20)
tan (20)
tan (2d) =
2tand
tana
2 m
m
2
=
tan ( 7 - 2α) =
4
-
1 +
M
M
L
2
tan (2α)
tan (2d)
22+
2
-
M
Mz
2m
2
m²-1
オ⑦
2m
+
m²-1
2 m
M
22 m
-1
2
+ 2m
m
+ 2m - 1
兀
B =
より
4
tan B
I
n
ß
=
π
4
-
2
2d
=
tan |
4
- 2α)
1
ケ
⑥
コ 5
M
M
2
2- 2 m
+
2 m
-
=
=
Im
M
2
2
+
+
4m
2 m
-
1)
2m-1
-
-
I m
m
2
2
-2m-1)
+ 2m + 1
n
=
2
m + 2 m -1
2 m
-
4m
=
| +
2
M
-2m-1
サ

ページ44:

(3)
n> | [ ')
| +
M
M
2
2
& M
2m-1
4m
2m
-
>
4m > 4 > 0
> 0
12 同符号
2
4m
M
2m -
M > 1 2 3
M
2 m
-
> 0
M
M
2
-
M
2 m
=
=
-
1 = 0
とすると
1 = 0
2.1.m
(-1) ± √(-1)² - FED
| ± | +-
=
1-12
1+12
'm
m> | より
ii
の解は
m >
√2 + 1
スセ
nが整数
=
n
| +
2
M
n≧2より
+
4m
2m - 1
2
4m
m² - 2m - 1
2
M
4m
2m - 1
m2-2m-170なので
(4)
(3)より
4 m ≥ m
0≥m
2
m² - 6m
-1
4m
2 2
2
-
2m-1
2
-
6m -1
m²- 2m -1
ソ
①
①

ページ45:

m)より
m2_6m-1
= 0 とすると
m2+2(-3)m
1 = O
m = − (−3) ± √(-3)² - |· (-1)
= 3土 9+1
=
3 ± √√10
m²-61
m
-
| < m ≤ 3 + √10
m
3-10
13 +110]
の
解は
9 < 10 <16 より
厚く広く116
6 < 3 + 広く7
1 < m ≤ 3 + 10
を満たす
整数mは
m=
2,3,4,5,6
4m
m2-2m-l
① より
=
n
| +
nが整数となるのは
4mが
L
4m
m 2m-1
が整数のとき
m2-2m ・1 の倍数のとき
m=6のとき
m=5のとき
4.6
4m=
m²2m-1=
=24
2
=
36
-
2·6-1
12
-
☐
2
4m
=
m² - 2m -1
=
4.5
= 20
52-25-1
=25-10-1=24
23

ページ46:

m=4のとき
m
m=3のとき
-
4m
m-l
=
=
=
4.4
4m
m²-2m-l
4
16
=
2
= 16
2.4-1
8
-
| =
4.3 = 12
2
= 3 2.3-1
2
-
9
-
2m-1
7
-
6-1
= 2
:
4112
m
の倍数
このとき
n
は整数となる
①より
n = →+
1 + 6 =
7
:
整数m
と整数の組(min)のうち
mが最大となるのは
(m
n) =
(3,7)
タチ

ページ47:

[v] f(x)=x
(1)
c: y=f(x)
f'(x)=
-
5x
+3x
-
5.2x+3.1
10x+3
=
3x²
=
1x
3113x
f'(x)
=
1)
0とすると
(x 3) (3x-1) = 0
-
x =
3,3 x = 1
x=3,
x =
3
→
3
3
1/3 3
アイウ
f(x) の増減表
x
f'(x)
f(x)
3
+ 0
→
3
-
0
+
極大
極小
+(1)は、+(x)の極大値である
f(1/3)は
X≧0における
I ①
f(x)の最大値でも最小値でもない
f (3) 12.
f(x)の極小値である
9
-
1
10
③

ページ48:

(2)
f(0)
f(3)
=
:
f(3) は
=
0
3
3
-
27
-
2
5.3
+ 3.3
45 +9
X ≥0 における
f(x) の最小値である
=
n
-
5x
+3x
= a
:
の
9
36
キ
0以上の異なる実数解の個数
①の
実数解は
y
=
f(x)
とy=
aのグラフの
f(3)
共有点のx座標と一致する
•
n=0
acf(3)
ク⑥
n = |
.
n = 2
f(3) = -9
0
②
-1m
a = + (3)
+(3)
または
+(1/2) ca
ケ④
f B} ) < a < o
3
または
a=f(1/2)
コ (0
•n=3
osac+(1/3)
x

ページ49:

(3)
l
A ( 2. f (2) )
C 9
Aにおける接線
f(x) = x
3
f'(x) = 3x²
lの方程式
9-7(2)
y
-
=
=
-
=
2
5.x + 3x
10x +3
f'(2) (x-2)
f'(2) (x-2)+ f (2)
(3.2²-10·2+3) (x-2)+ (2³ - 5·2 + 3·2)
=
112
-
20 +3) (x-2)+
18
-
20+6)
=
51x 2)
-
= 5x
+ 10
=
5x
+4
-
-
6
6
l
y
=
-
lの
共有点
の
5x+4
x座標は
2
-
5x
+3x
=
-
51 +4
の解と
-
致する
サシス
5 x² + 3x + 5x
4
= 0
3
2
5x
+8x
4
= 0
21
(x-2) (x²
2
-
3x+2) = 0
(x-2)(
(x
-
1) (x
-
2) = 0
(x-2)² (x-1)
x
2
= 0
Bax
x座標は
X =
セ
-
58
2
-3
6
-
4
4
2
0

ページ50:

求める面積は
y
の斜線部分で
0
Sとする
5x + 4 ) − (x²- 5x²+3x) } de
1.1E-5×
=
3+
3
= S. ' 1 - 5 x + 4 - x² + 5 x ² - 3x) du
=
1- x
3
2
+5x
=
4
-8x+4) dx
3
1 2
[+]
x² - 8 ½ x² + 4 x ] !
= 1-4
3
12
17
12
x + 5.
+
+
3
20
12
2
4+4) 0
ソーツ
w~
3
>x
B
C

ページ51:

[v]
3
x +kx²+1
-
h=0
解x=
①が2重解をもち
x=
が の2重解のとき
の
-1以外の解を
〆とおく
解と係数の関係より
-| +(--) + d
=
-
k
(-1) (0) + (1) · α + α. (-1) = 0
-1.(-1).2
(1-k)
=
-
|-
(2)
より
-
〆
-d
-
= 0
2d = −1
d=1
2
③ より
(-1)-(-1)
=
-
++h
-1+k=1/2
k
k
=
=
2
34
2
+ |
x
=
-|
が
2重解でないとき
-1以外の解をBとおく
B12
2重解
ア⑦

ページ52:

解と係数の関係より
-1+B+B
=
-k
-1. B + B. B +β(-1) =0
⑤ より
- 1. B. B
B+B
2
B
B1B
B
-
-
=
-
11-k)
2
-
ß
2 B
2)
= 0, 2
=
0
= 0
=
0
より
B=0のとき
-1+0+0=
k
=
B
=2のとき
−1 + 2 + 2
k
=
-
k
-
k
= 3
k
-
3
またはk
=
A=-3,
B=1,
c=3
2
x3+kx²+1
解 x =
-
-
k
= 0
(4)
⑤5
--
k
0
1- k
(x+1){x^ +(k-1)x k+1 = 0
-|
- 1+1
k-1
|
k-1 -k+1
0
① が異なる3つ
の実数解をもっとき
-
x²+(k-1)x k + 1 = 0 が -1以外の
異なる2つの実数解をもつ。

ページ53:

判別式をDとすると
k
1+ 1
3
かつ
D > O
(アより)
2
2
Doより
(k-1)
k +
3
2
より
4 (-k + 1) > 0
k-2k+1+4k
2
k² + 2k
-
-
470
3 > 0
(k-1)(k+3)>0
k <
-
3.1ch
k<-3, Ick</1/23 1/2くん
k < A, B < k < c, c‹ k
オ

ページ54:

(1)
3
x² + k x² + 1 -k
= 0
(x + 1) { x²
2
+(k-1)x
-
+1}
の
異なる3つの解
= 0
-1, α, B
L. B 12 x + (k-1) x - ₤ + 1 = 0
の異なる2つ
の解
解と係数
の
関係より
α + B
=
-
(k-1)
α B
=
- k +1
L² + 2 α B + ß³ = (α+B)²
2
2
+
=
(L+B)² - 2αß
= (-(6-1)²²-2(-k+1)
=
(k-1)² + 2k-2
= k² - 2 k
+1
+
2k-2
=
2
:
2" + 3" 17
= 0 のとき最小
最小値 -1
k=0とする
2 + B
=
(0-1)=1
0+ 1 =1
L B
=
2
2
B
3
23 + 3 2 ² ß + 3 2 ß²+ ß³ = (α+B)³
3
3
x² + B³ = (α+A)³ - 32B-34B²
=
=
=
32ß
(2 + R) ³ - 3dB (α+B)
13 - 31.1
3
=
2
p
キ
ク⑦

ページ55:

(2)
A
= -
3.
k > o
x 3 + kx²
2
3
B = I. C = ³/
2
+ 1
-
k
= 0
(x+1) (x² + (k-1)x - k+1} = 0
異なる3つ
の
解
2
2
2 2 + 2 3² + 5
I
=
=
|-
LB
2(d² + B²)+5
LB
(1)より
2
+B
=
k² - 1
6 + 1
L B
=
I
=
2(k
-
2
2
-
1) + 5
(-k+1)
2 k² + 3
k
=
2k
k²
2k+
3
k
+
k
2 +5
ケコ
koより
2 k 70. // >
3
>0
k
相加平均と相乗平均の関係より
3
I
=
2k +
3
≧2
2k
k
=
2√ō
3
等号成立は
2k
=
のとき
k
2k²
k²=
=
3
3
2

ページ56:

koより
3
厚
k
=
2
=
√
2
エは
k
==
のとき最小
サシ
2
最小値
2/6
スセ

ページ57:

(VI) f ( ) = x(x-4)
c: y = f (x)
(1) lim fu)
x+1
=
lim x (x-4) e**
x+6
x
4x
=
lim
ex
= 0
lim fux) = lim x(x-4) e-x
x-1-1
= ∞
(2)
f(x)
=
=
x(x-4) e
(x² - 4 x) e
-x
イ
f'a
=
(x² - 4x) ex
-x
+ (x² 4x) (e¯x)
f'(x)
=
=
=
=
0
(2x-4)é
x
+
(x² - 4x) e- (-x)
(2x-4)+(x²-4x).ex (-1)
(2x-4 x +4x10x
-
(-x+6x-4) e¯*
(x²
-
とすると
-x
6x +
4) e
ウエ
-
(x²
2
2
-x
6x+4)ė
= 0
= 0
x + 2 (-3) x + 4
x =
=
=
(-3) ± (-3)- 1.4
3±9-4
3±5
A
d
B =
"1
=
3
-
3+
15
55
15

ページ58:

2
f" (x) = (x² + 6x-4)'e** + (-x²+ 6x-4) (e¯*)'
=
-x
(-2x+6) ex + (-x²+6x-4) e-* (-x)'
2
= (-2x + 6) e²x² + (-x²+6x-4) c* (-1)
(-2x+ 6 + x
2
-
6 x +
8 x + 10 ) e
-x
4) e
-x
=
=
(x²
-
f" (x) = 0
とすると
(x²
- X
-
8x + 10 ) e
= 0
2
+ 2 (-4)x
+ 10
=0
x
2
x = (-4) ± √(-4)² - 1 - 10
=
=
11
=
-
4 ± 116 - 10
4 ± √6
-
To
4
4+16
=
3
B
=
I
-
f
=
√5 = 3
-
2.24
=
0.76
3 + 5 = 3 +2.24
r = √6 =
4
4
-
= 5.24
2.45
=
1.55
=
6.45
4+16≒4+2.45
+
H
オカ
S
=
小さい
順に
P = α .
=r
r = ß
=
N f
,
f(x)の増減の凹凸
x
P
+ 0
f'(x)
0
+
f"w
+
foo
q
+
-
C
0
-
-
S
0
+

ページ59:

.
x<Pにおいて
f(火)はつねに減少し、Cは下に凸である
† 4
P<x<gにおいて
f はつ
ねに増加し、Cは下に凸である
③
qxrにおいて
f(x)はつねに増加し、Cは上に凸である
rxくにおいて
5(x
f(x)はつねに減少し、Cは上に凸である
において
f(1) はつねに減少し、Cは下に凸である
コ
①

ページ60:

f(x)
d
= x
=
3
-
(x-4) e-
5
x
(3-15) (3-5-4)e-d
=13-15)-1-5)e-a
f(α)
=
3
-
店50 -1- 15 coe
-d
f(d) o
0
より
P = α
q
v=B
f(x)の増減表と
Rim f(x)
= O より
X-10
f(α)は極小値
であり、最小値でもある
ス③
f(x) の増減表 limof(x)=0より
f(B)は極大値であるが、最大値ではない
セ②

ページ61:

2
(3) [ x² ex dx
=
-
| x² (= e¨³)'dx
=
x² (= e^^) - | (x²)' (-e^^) de
-
x
= = x² e²* + / 2x e- * dx
-
2
=
x
e
×
+
2 / x e-x dx
A
=
求める面積は
2
図の斜線部分で
ソ
y
Sとすると
S = S ³ { - x ( x − 4 ) e ²*
=
0
2
- X
} de
Jo" ( - x² + 4x) e du
0
$
2 -x
e
du
4
☑
4 / x = " de
+ 4
0
ex dx
4
C
-x
= - [[ -x'e^) (+ 1 x Cdk | +4] x="de
=
[ x
- x
e
=
=
ここで
0
42e-4-0
16e-4 +
0
+2
-
2
1 x e² x dx + 4 / x ex dx
+ 21°² x e²x dx
2
2 fo² x e-x dx
1. " x e- dx
0
=
x (- e-x)' du
=
x (- e-x) ] : - / Wi (- é¯x) dx
-λ
=
41-e) - 0 +
-x
= - 4 e 4 + [ - e *)&"
= - 4 e- * + / - e-x-(-e") {
+ ] 1. ex dx
り
x

ページ62:

S
=
=
-
4 e-k
=
-50-4
-
e
+1
-4
+
1
16 e- * + 2 (-5e-4 +1)
=
160-*
1
10ē-x + 2
=
be
6e-4
+
2
9.4.")

ページ63:

[VIT]
C :
f(x)=
cos x
sin x
y = f (x)
f'(x) =
=
=
-
2
(0≤x≤2π)
(cosx) (sinx-2)
( sind
cock (sinx-2)
2)²
cosx
cos x
2
sin x \ sin x-2)
(sinx - 2) 2
sin ut 2 sinh
I sin k
-
2)²
cos²x
(sin² x + cos ²x)
f'(x)
=
2 Linx
-
=
( sin x
-
2)2
2 sin x
=
(sin x
-
2)
2
0
とすると
2 sinx -
=
= 0
OX(2匹より
2 sin x
=
sin x =
I
2
元
x =
6
6
元
-|
3.1.3.
I
オ⑤
1
1/2

ページ64:

f(x)
2 sin x
=
(sin x-2)²
f" (x) = 12 sinx - 11' \ cinx-2)² - (2 sin x-1) { (sin x-2)²\'
{( find -2)²}2
2 cos x ( sinx-2)²
=
( sind
-
2 cos x (sin x-2)
==
2 cos x
=
)
Sin a
-
-
-
(2 sinh 1). 2 (sin x-2) (sin x-2)
21%
2 ( 2 sin x − 1 ) .
(sin x-
2
3
( sin x - 2) ³
-
2)3
2 sink +1)
cos x
2 cos x
|- sin x-1)
(sin x - 2) ³
2
cos x ( sin x + 1)
カ④
キク
(sin x - 2) 3
f(x) = 0 とすると
- 2 cos x ( sin x + 1) = 0
cos x = 0
O < K < 2 π L)
x =
2
→
3
2
sinx = -
= 1.3 x
x =
'
3
x=-λ
ケ②コ⑨

ページ65:

f(x)の
増減と
Cの
x
0
f(x)
†" (0)
f(x)
+
0
57
K☑
+
2
+
0
π
0 < x <
において
+
R
094
-
-
3
~W
2
1.
0
+
2匹
サ 8
シ⑥
2
f(x)は減少したのち増加し、Cは下に凸である
くく下において
f(x)は増加したのち減少しは上に凸である
元(x〈2匹において
f(x)はつねに減少し、Cは変曲点をちょうどにもつ
ス②

ページ66:

f(x) =
I
=
=
J &
S
t = sinx
t
dt
x
=
0
0
cos x
sinx-2
f(x) sinx dx
cos x
Sinx dx
Sin X
・2
とおくと
cos x dx
+
元
I
こ
I =
=
J.
0
Link
Linx
t
t
- 2
COSX dà
=
1) is
dt
セン⑤
2
2
+
-) dt
t-2
-[t+2bg|6-21]
t + 2 lug It - 21 ] !
=
=
0
t-2 / t
{ 1 + 2 log 1-1 1 } - (0 + 2 log 1-21}
t
-
2
2
= ++
2 log |
0
2 lug 2
=
=
1 - 2 log 2
1-log 22
= 1 - log 4
タチ