ページ3:

II.
a,p を正の実数とする。 座標平面上の曲線 C:y=e* と C, 上の点P (p, er)が
ある。Pにおける C, の法線を l, l と x 軸の交点をA (a, 0), Aを中心とする半径
r の円を C2 とする。 Pが C, と C2 のただ一つの共有点であるとき, 次の問 (i) ~
(v)に答えよ。解答欄には, (i)~ (iii) については答えのみを, (iv), (v)については答
えだけでなく途中経過も書くこと。
(i) l の方程式を を用いて表せ。
(ii) a を p を用いて表せ。
(iii)
r を p を用いて表せ。
(iv) ∠OAP= のとき,』 の値を求めよ。
(v)
p (iv)で求めた値とするとき,次の不等式の表す領域 D の面積Sを求めよ。
- 2≤ x ≤p, y≧0, y ≤ e³,
(x-a)2+y2≧r.
- Ca数6-

ページ4:

IV. nを2以上の自然数とする。 次の問 (i) ~ (iv) に答えよ。
(i) n-n は6の倍数であることを示せ。
(ii) n4 + 2n3 - n2 - 2n は24の倍数であることを示せ。
(iii) n に関する数学的帰納法を用いて, n + 4n は5の倍数であることを示せ。
(iv) n+2n8 - n7 - 2n6+4n5+84-4n3 -8m² は120の倍数であることを示せ。
- Ca数8 -

ページ5:

I (1)
an
An
=
2"
2
an
2
=
=
a₁
2
= 2
=
2
2
1 +2
2
+n(n+1)
An ≥ 10"
In (n+i)
10
≥ 10
底を2とすると対数をとる
2」より
lug 2 2
? log 10"
n (n+1) log= 2 2 10 beg: 10.
luga 10
2
2
2
n (n+1) ≥ 10 log 2 10.
=3.3219 より
n ( n + 1 ) ≥ 10x 3.3219
n (n + 1) ≥ 20 x 3.3219
=
66.438
7·8 = 56,
8.9=72 より
d. 9 ? 66.438
8 (8 + 1) ≥ 66.438
最小のnは
8
ア

ページ6:

(ii) | à
| a
①より
② より
+
=
4
-
2
| a + 5 |² = 4'
a
2
+
2 ā⋅ 5 + 1 5 1² = 16
|ab|= 22
2
より
-
-
za +51² = 4
b
4 ab
a
J!
b
= 12
= 3
③
(4)
イ
=
=
より
-
a
2
2
>
+
+
2-3 +
6
+
16
151 = 16
|
=
16
1 à 1² + 151 = 10
| 2 ā - 3 6 1 ² + | ³ ā-261
41ä13-120-6+91512 +
1 3 1 0 1 2 - 2 4 2 - 6 + 131512
2
+
=
13 || ă
=
13
10
=
130
72
=
58
)
24.3
-
2
(5)
9 10 11 - 12 0 - 6 + 41612
24 ab
(イ⑤より)
ウ

ページ7:

(iii)
7R
sin x sin 2x dx
① より
0
=
0
24
6
sin 2x sin x dx
cos (α+ B)
=
cos (α- B)
=
Elcan y son
cos & cosẞ +
Sin
d
Sin
ß
sind sin B
cor (α + B)
cos (α-ß)
=
2 sind sin B
{
cos (α + B) - car (α- B} } = sind sinß
<-
75
2
Lin 2x sin
dn
2
( + + + + - ) } = ( + + + + ) † - ·
2
-
Sin
Sin
()
6
-)
0}
-
2
2
Sin
13-1-11
2
{(017-043 ₤1 - (1/1)
sin )}
°
-
- xεurs & ] + -
"||-+ (cm3 - caα)} de
[ sin
3x
cos X
Linx
24
-
=
=
11/
2
I
12

ページ8:

(iv) tik
緑
50
黄
3
赤
4
計
12 -> 3
12-11-10
C
12
3 =
= 220
3.2.1
3枚とも同じ色
緑が
3枚
または 黄が3枚
または
赤が3枚
5 C 3
+
3
3
十 C 3
4
=
5
C2
+
1
+
4
C₁
=
=
=
5.4
2-1
10
15
+
+
+
1 + 4
より
15
3
220
44
3枚の色がすべて異なる
緑1枚、黄1枚 赤1枚
5 4. 3
③
より
5.4.3
3
=
カ
220
| |
2枚が同じ 残り1枚異なる色
緑2枚のとき黄または赤1枚
5 C2 x (4+3)=
5.4
x7
21
=
|0 * 7 =70

ページ9:

黄2枚のとき
緑または赤1枚
4.3
4
(2×(5+3)
x P
21
=
6×8
=
48
赤2枚のとき
緑または黄1枚
3.2
3
C2×(5+4)=
×9
2.1
=
3x9
=
27
緑2枚または黄2枚 または赤2枚
70
+48 + 27
=
145
より
145
220
29
=
44

ページ10:

(v)
=
HE
+
早
103
9
+
2
9
+
2
+
13
2
=
a+bi
兀
9
Cos
元
4
+ i sin
4
-π
2
=
2
+
12
0
R
優
+
icin
+isin
1+=1+imm
2
1 +
Lin
||
3
3
=
2
3
5
Cos
3
=
cos
2
3
一
13
2
i
1)
2
tisin
in 57
?
"A
-~
+
+
#
六
+
・++1
2
2
+
-
13
=1+1/+1
+
2
2
12+1
巨
'
12- B
b
2
2
i
12-13
2
i
クケ

ページ11:

II
f(x)
=
Fin³ x + cos³ x + 4 Finx cos x
t = sinx + cos x
(i)
t² = ( finx +
2
cos x )
=
sin² x + 2 Linx cosk
+ cosx
=
(sin³x
+
cos² x ) + 2 find cos x
(ii)
=
1 + 2 sin x cos x
1 + 2 sin x cx X
=
t'
2
sin x cos x
=
t² - 1
t²
sin x cos x =
(谷)
2
105³×
x
I sind + cos x)² = sin'α + 3 sin³x cos x
+ 3 sind cos² X +
3x + 3 sind cosα ( sind + cos x)
3
t'
3
=
sin³ x +
=
Lin³ X
+
cos³ x + 3
ピート
2
=
sin³ x +
cos³×
3
3
cos x +
2
一
3
2
3
3
+
+
t
2
314
t =
sin³ x + cos³ α
=
sin³ x +
cos x
sin' x + cos³ x
3
3
==
-
+
t
2
sin' x + cos³ x + 4 sinx cos x
2
2
3 3
t +
3
2
1
t + 4.
2
t +
2t² - 2
2
+
3
((()より)

ページ12:

(iii)
t = Linx t cos x
3
2
²² 12 (5)
+2t+
3
t
2
(答)
=
2 sin (x +
+)
4
衣
-1 ≤ sin (x+ -) ≤ |
-
より
√√2 € /2 sin (x+
✓
4
- 2 ≤
t
≤ 2
(谷)
(iv)
(iii)より
3
2
3
t
2
f(x) = + + +-2
('(x) =
11
I
-
-
H
2
+2t+
2
3 t + 2-2 t + 31-0
3
2
+ 4t+
2
3
2
1/13ピー8t+3)
½ (t-3)
( t − 3 ) ( 3 t + |)
2
[f'(t)=0とすると
-
(t − 3) (t + 1) = 0
-
t = 3,
t = 3
3 t = −/
A
- 12 ≤ 1 ≤ 2 & 1)
t =
3
X
3
3
-
-d
9

ページ13:

f(t)の増減表
t
t
f(t)
f(t)
12のとき
f(x)
=
-
1
2
-
0
c|-
3
+
>
|2
(-2)²+2(-2)²
3
(- √2)² + 2 ( - √2)² + 1/2(-2) -2
=-1/2(2匹)+22-15-2
3/2
=
2+4
2
2
=
2-2
のとき
f(x)=
tu/1/213+21-1)+1/(-1/2)-2
|-
1 + 2
2
27
9
2
―
2
5+11-1/2-2
54
+ 12
9
54
-
27
-
108
122
54
61
54

ページ14:

t=2のとき
f(x)=-1/2
(2)'+2(左)
√ √ 2 ) ' + 2 (
+
12 ) ² + 3—3—13 (12) -2
=
1/
2
22+
2.2
+
32
-
2
+ 4 +
・2
2
2 +
反
2
32
2
2
f(x)
2
の
最大値
2+
2
(答)
最小値
61
54

ページ15:

El
C₁ =
a > 0, p > 0
PI
l:
,
=
e
eP)
C」の
A ( a, 0 )
x
法線
C₂
(x - a)
2
2
2
+9
=
P: CとC2の共有点
(i) C₁
=
e"
=
e
e³) 12 5. 17 3
法線の方程式lは
J - eP
=
(x-P)
ep
l
y
-
H
er
x +
P
+eP
(各)
ep
(ii)
P12
(iii)
上の
点
2
の法線はl
C の
2
中心
PにおけるC
lは
(i)より
0 =
P
A(a,0)を通る
a +
+
e'
ep
er
a
+
P t
2P
e
2P
(答)
(ii) より
-
0 =
-
a = P +
2
C2上の点より
a) +(e³). = r
a = P +
20
2P
2P
>
2
{ p = ( r + e + ) { ² + e ²p = r²
-
(- e²³) 2
exp +
21
+
=
e
r²
2P
e
=
r
l
x

ページ16:

(iv)
ro より
41
21
=
e
+e
2P
r
=
=
=
lesr
2P
Jeeple
e
erfexp.
22p+1
+
--)
(谷)
LOAP=
元
のとき
6
lの傾きは
tan (π
5
-
= tan & r
6
0
また
(i)より
13
lの傾きは
er
B3
er
P
=
=
=
厚
log
1/1
er
厚
log 3½
= ½ log 3
(谷)
R
r
A
x
l

ページ17:

(V) s =
SP
·S" e "dx - πr²
ここで
・2
6
+
2π
+ 1 = (a - p ) · e² · · ①
I" e "d^
2
8/71
A
-2
Pa
P
= [ e^] » ₁₂
ex
=
eP
3
-
-
-2
I
-2
((iv)よりe=厚)
②
2
(ii)より
π
2匹
=
π V²
r²=
½ la-p) e ³
兀
2
12
=
12
exp
21°
+
e
=
P) 4 +
(e")2
=
=
44
27
4
2
( 13 ) " + (13)²
9 +
= 2
=
兀
12
3
12 = πC
21
(ii)より
a =
P +
e
=
a-P
=
11
=
=
ľ + (er)²
(e')'
1/3)2
3
J=e*
C₂
l
X

ページ18:

//la-per
-
÷3匹
33
2
④
①
S=
④より
13-1/2
5万
2
.)
e2
3J
π
2
(答)

ページ19:

IV.
(i)
=
=
N ≥ 2
n³ - n
n
n
2
-
自然数
1)
n(n + 1) (n-1)
=
(n
-
1)
n(n+1)
nが自然数より
n-1, n. n+|
は
連続する自然数
n - 1. n. n+
のうち
少なくとも1 は 2 倍数であり、
かつ
少なくとも1つは 3の倍数
In
N ³
-
-
1) n ( n + 1) 12
6の倍数
n
は
6の倍数である
[証明終]
(ii)
n
4
N² + 2
n
-
n³ + 2 n²
2
n
-
2
-
n
2n
-
2)
= n (n-1) n +3n+2)
=
=
n (n-1)(n+1)(n+2)
(n-1)n(n+1)(n+2)
nが自然数より
n-1, n. n + 1. n + 2 12
連続する自然数
n - 1. n. n+1 n+2のうち
少なくとも1つは
かつ
かつ、少なくとも
少なくとも1つは
2の倍数であり、
3の倍数
1つは4の倍数
2
-
-
2
1
3
2
3
2
0

ページ20:

2 × 3 × 4
=
24
(iii)
:
(n-1)n(n+1) (n+2)は
24の
こ
n'
倍数
+ 2 n°
3
-
24の倍数
n
-
2n 12
[証明終]
n5+4m
は5の倍数である
①を数学的帰納法を
用いて示す
[1]n=2のとき
25+
+4・2
=
32+8
50
= 5.10
5の倍数
n=2のとき
[2]n=
h1k22
①が成り立つ
は成り立つ
自然数)のとき
すなわち
k5+4k
=
5lllは整数)
が成り立つと仮定する
n
=
k+1のとき
5
(k+1)+4(k+1)
=165+5k+10k3+10k'+5k+1) +14k+4)
=(15+4h)+
5k4+10k+10k+5k+5
=
5l + 5kx + 10k3 +
10k²+5k+5
2
=
+k
+
1)
51l+k4 +2k3+2
5の
倍数
n= k+1のときも ①は成り立つ

ページ21:

[1][2]より、数学的帰納法より
2以上のすべての自然数nに対して
n5+4ηは5の
(iv)
n
9+2m²
-
倍数である
6
3
[ 証明終]
n² - 2 n³ + 4 n³ + 8n" - 4n² - 8n²
2
5
(n³ + 2n² - n² - 2n) (n ³ + In)
=
n9+2nd
-
77-276
+
4n5+8m² 4m² -8m²
+ 2n³ - n
3
2
-
2n 12
(i)より
24の倍数
(iii)より
5の倍数
ny
n
5
+ 4n 17
24×5 = 120
( n * + 2 n³ – n² - 2n) (n 5 + 5n) 12
120の 倍数
n
8
+2n
-
n
7
6
-
2n
+
5
n+
3
8n" - 4n³ - 8 n² 17
[証明終]
120の倍数である