ページ3:

3
解答を解答用紙(その2)の 3 欄に記入せよ.
f(x) = cos'x + sin' x, g(x) = sinx とする.
(1) 0≦x≦ぇにおいて, 曲線 y=f(x) の概形を描け.ただし,凹凸は調べな
くてよい。
(2)0≦x≦nにおいて, 2曲線y=f(x), y=g(x) の共有点の座標を求めよ.
(3) 0≦x≦πにおいて, 2曲線 y=f(x), y=g(x) で囲まれた図形の面積 S
を求めよ.
-7-

ページ4:

解答を解答用紙(その3)の4 欄に記入せよ.
xy 平面上に2つの定点A(-1,0),B(1,0) がある. 線分AB上の点Pに対
して,xy 平面上の点Qは以下の条件 (a), (b) を満たすとする.
(a)
PQ の x 座標は等しく, Qのy座標は正である.
(b)
AP + PQ + QB = 4
このとき,以下の問に答えよ. ただし, 線分は両方の端点を含むものとする.
(1) Pの座標を (s, 0) とするとき,Qの座標をsを用いて表せ.
(2) P が線分AB 上をAからB まで動くとき,Qの軌跡を xy 平面上に図示せよ.
(3) Pが線分AB上をAからBまで動くとき, 線分 PQ が通過する部分の面積
を求めよ.

ページ5:

5
解答を解答用紙(その4) の 5 欄に記入せよ.
△OAB は鋭角三角形であり,
|OA| =4, |OB| =3
を満たしている. OA・OB = k とおくとき,以下の問に答えよ.
(1) kのとり得る値の範囲を求めよ.
上で与えた △OAB の頂点 A, Bからそれぞれの対辺に下ろした2本の垂線の
交点をHとし,辺AB を 2:1 に内分する点をCとする.
(2) OH を OA. OB およびんを用いて表せ.
OH
(3)3点0,H, C が同一直線上にあるとき, kの値と
を求めよ.
OC
-11-

ページ6:

いころ
4回
=
X1, X2, X 3. X 4
P2 =
P3
Pε
=
P,
P2
-
X3 = X₁ - X 3
-
X4
X2 -X4
Pilx,, 0)
"
P2(x1,x)
P3(x, x, x2)、P4(Xi-x2、キューX4)
),
(1)
P4
0
さい
ころを4回投げる
P4
6"
=0 のとき
(X,-X3,X2-x4)=0
-
X1 x3
X2
-
X4
= 0
=0
X
=
x1=X3 となるのは
=
×2
X4
((1)(2,2) (3,3),
(4.4)
(5,5), (6,6)
6通り
x2=X4
となるのは
同様に
6 通り
x1 = x3 かつ×2=X4と
なるのは
6 × 6
=
36
(通り)
より
36
64
=
62
=
12.3
36

ページ7:

(2)
X₁, X 2
3
X412
さいころの目
より
ny
P3(x,-x3_X2)
X2
1 ≤ X k ≤ 6
(k=1.2.3.4)
X₁-X3
Pi
線分OP」と線分 P3 P4が
0
✗1
x
共有
をもつのは
いい
-
X 3 ≤ X 1
Xュー
X4
X 2 ≤ Xx
X3X」となるのは
x=1の とま × 3 = 1
x2=2のときX = 1,2
x6= のとえ X 3
=
1.2.3.4 5.6
+2+3+4+5+6=21
とな
t
21
通り
X2
同様にして
1017 X 2
≤ X 4
と
3
なるのは
21 x 21
通り
より
21 x 21
=
64
=
7x7
2·2·66
49
144
X2-X4
8
P4 (x, - X3, X 2 - × 4 )

ページ8:

(3) Pa (3.3) のとき
1 X
-
=
X3
3
X2
-
×4
3
=3となるのは
X1-X3
(X1, X3 )
14,
(5, 2). (6.3)
3通り
x 2 - X 4
=
同様にして
3となるのは
3通り
=
-
3,
× 3
X2
なるのは
3×3
=
④より
9
63
-
X
3
3
9 通り
と
=
2·2·6.6
144
9~12

ページ9:

2
(1)
24iz = 4/3i
Z = α. B
'
|2| < |B |
A 1α). B (B)
z²-412
-
=
4/3i
(*)
(221)³ (2 i)² = 4√3i
-
Iz
-
2
2i )² = (2i)² + x/3
=
4.1² +
=
=
+
4 Bi
4(-1+13i)
=4·21
105
3
·π + 1 sin
= 8 ( cor π + i sin x)
-1
5
0
ス
-
( z − 2 i )² = f ( cos
-π + i sin
13~16
z - Zi
=
rは実数
r ( cos 0 + i sin 0 )
ro
とおく
2
(7-21)
=
r
=
2
r
2
( ur 0 + i sin O )²
(COT 20 + i sin 20)
-
( z − 2 i )² = f ( cor — — rein} })
r² ( cos 20 + i sin 20)
2
r² = 8
20
=
2
+
=
8 (cor
2
π + 1 sin
π + 2kr
3
(k=0,1)

ページ10:

roo より
k=0,|よう
=
0 =
18
I
=
3
大
3
2/2
27+
πC
3
-
22
・
3
2i
=
2/21
R
COT
3
2/2 (cos
4
=
2/21
2
221
2
=
12 +
To i
2++
π
21
+
+isin
I),
+isin/)
厚い、
2
13
:)
-12-16 i
2 = 12+ 161+2℃
=
161+20
12+12+店)
i
12 + (2-1 i
|-√2 + (2-6)i| < | 12 + (2 + 16)i|5)
d=-12+12-)i
B=12+12+6)
17.18.19

ページ11:

(2)
AB
=
| B
-
d
=
非
+
(2+ō18-(-2+ ( 2 − √b) i } |
6
12+2il
2
= (2/2) + (2/6)²
12
= 4 - 2
=
こ
8
132
+
姫
+
4.6
24
ABを対角線とする正方形の
20,21
残りの 2頂点をC(r) D(8) と
C
する
C. D 12 Aを中心として
A
A
Bを
回転し
4
か
倍した点
r
d
=
I cos
=
r
|-
=
=
11
12
K☑
B
IT + i sin π 1 ) ( B - d )
安川
4
16
+1
//i)(2万+2匹i) (①より)
12/2+
2/2 + 2/1 i )
127
+
+
16
な
2
+
16
+
2
Iz i
-16
-
16 +
+ 12
-
6 + 16
+2
itd
リ
12-16 +116 +1)-12+(2-1) i
=
巨
=
16 +12 +12)i
22,2324

ページ12:

3
f(x)=
cos' x + sin' x
g(x)
=
sinx
(1)
0 ≤ X ≤ π
t'(x) = 3 cs*x (cosx)' +
f'(x)=3ws
=
=
=
=
3 ws³x (- sin x)+
3 sin x cos
X
3Dinxcosx(
3 sin'`x (find)'
3 sin² x
cos d
+ 3 sin² x cos &
cos x + sin x)
-
cos .)
3 Linxcosx(Linx
f'(x)
= 0
とすると
3 Lind cos x ( sin x
-
Coix) 0
sin x=0 または
COT x=0 または
sinx-cos x=0
sin x=0 または
COT x=0
または
sinx =
cos x
π
x=0,
x =
x =
2
4
f(x)の増減表
x
f'(x)
f(x)
f10)
+1)
flo) =
=
0
0
500
+1 ½) ·
()
-
4
0
2
+
30+ sin 30
3π
K|~
2
0
-
=
3匹
of IT + sin II
2
2√2
4
3 A
I
R
0
13+0'=1
=
2
2
3
3
² + 1 + 1 = 0'+1')
= cos³ /
十(元)
=
CUS
2
Sin
2
+sint
=
(-11 3 + 0 3
=
3
反
2
=-l

ページ13:

y=f()
の
概形は
y
K
0
(2)
cos³ x + sin³α =
Pinx
元
x
-
x
+
3
-
final-
CUS
1 cos x
cos x
-
-
-
fina
fin x)
cos
Linx
= 0
cos³ x + sin ³×
500
3
sinx ( sin² α-1)
CUJ² X
a = 0
cos x = 0
sin x
0
= 0
sin x)
= 0
= 0
または
cos x
=
finx
COS x=0
0 ≤ x ≤ π £)
x
=
π
4
IT
x =
2
(1)より
1 1/2 ) = 5
fl
(
f 1 1/2 )
共有点の座標は
兀
=
2
) (1/1) (谷)

ページ14:

(3)
0 ≤ X ≤ π
y
y = f(x)
9 = 91x)
面積 S
(i)(ii)より
y=f(x)とy=g(x)で
囲まれた図形は
の
斜線部分
S
=
-|
T
元
y=f(x)
y=g1x
{
{ g(x) - tix, 1 da
Sinn
( cos³ x + sin x ) } dx
3
(sin x
-
cos x
cin' x ) dx
①
K~ Klα
KN K
|
Linx dx = [-cxx]
=
-
| cos 7/7
-10-
=
cos³ dn =
-cos 2 x cos x da
cos
=) (1- cin³x) cos x dx
=
sin² x cos x) da
元
x

ページ15:

=
Jcosx
-
sinx (Linx)'} cla
44
[
= [cina - — ein'e ] ]
=
3
4
= ( cin 1/4 - 1/1 cin³ 17 ) - ( sim 1 1 -— - sin x 1)
=
2
(|- |- · | )
-
2
-
3
4
3
+
337 11 12 13 =
2
2
-6+1
62
3.22
2
5
6
I sinindn
=
| sin'n
sinx da
=
| (1- cos'α) cind dr
= (sind
=/sina
-
+
cos³x sinx) da
-cos³ x (cos^) } dr
cos³x
= [-unx + + ca'^] }
=
-]
= (- cos I
2
+
[
4 3
( 14 ) &
0 +0 +
2
-
Cos
3
4
3.22
21
I
り
+
I
cos
3π

ページ16:

6
5
652
62
④より
S
=
-
(1
( )
2
12
2
3
5
)
5
612
5
+
62
6.2
(合)
〔別解〕
S
S
{gins - fix ) da
(sin x
-
-
( cos³ x + sin x ) } dx
3
cos X
sin³ x ) dx
=
cos x. cos²x
--
sinx sin x ) dz
sinx. (|- cos x) } dx
=
Fina
cor (1-sin³α)
-
=
Ilsinx
cos x + sin² α. COT X
-
Lina + cos²x sinx) da
=
cos x +
=
· [-
Sin x
+
sin' x ( sinx) - cos'x (cord)") dx
3
{ sin'α = cos²x]]
-
R
J
44

ページ17:

=
11
=
=
o)
-(-1+ —-—--1³-0)-—-—
2
3
1+1/
2
3
2
1
12
2
3
(谷)
+
3
3
-

ページ18:

14
A 1-1,
0)
B
0 )
11.
P A B L
AP + P B + Q B ·
=
4
y
(1)
P 15.
0 )
Q(57)
条件(a)より
Q ( 5, t )
( t > 0 )
A
P
とおく
0
S
1
=
4
7+ (1-5)
2
=4
=
4
-
-
S-t
条件(b)より
AP + PQ +QB
S-(-1)
+
-J
t
2
2
+
+ t
√(5-1) " + t²
2
=
L
=
(5-1)² + t +
2
=
5² - 25 + 1 + t²
25 + 1
6t-25t
6t
-
-s-t + 3
1-5 - t + })
2
2
s + t +9-61-65 + 2 st
=
9
-
-
6t 65 +25t
2st
=
=
=
9
8
-
-
45
6
-
45
d
2125-
4)
2 st
215
-
-
6t
3) t
3) t
=
Pは線分AB 上 より
- 4
S-3 ≠o より
=
2 ♫
-
&
36-2
25-8
t
=
5-3
-155515)
- 2 ≤ 2 ≤ 2
25-1

ページ19:

①③ より
-625-4≤ -2
S 3 <0
-
2S - 4 <0
2S
-
S 3
t > o
> 0
条件(a)
を満たす
(2)
25-4
215.
-)
5-3
x = S
J
=
25-8
5-3
2x-
x
Q15.
25-4
5-3
か
3
P(S, 0) が線分AB より
| 5 5 3 1 -
y
-1 ≤ x ≤ 1.
2x-4
x
2
-
=
-
Q の軌跡
3
は
+ 2
2
2 +
x
3
(
2
双曲線
y =
+2
x-3
(-1≤x≤1)
(谷)

ページ20:

y =
2
の
グラフを
x軸方向に3
y軸方向に2だり
平行移動したグラフ
X-1のとき
y=2+2/2/+2
-1-3
4
3
1/1+1=1/
2
2
x
=
のと
it
Q
の軌跡は
の
よう
になる
y
2
2
+2 =
+2
3
-2
11
=
-1 +
2 =
= 1
yo
y=
2
+2
x-3
2
-10
(3)
Pが
AB 上
の
点より
poが通過す
部分は
y
の斜線部分
求める面積をSとおくと
S
=
小
-1
-10
2
+ 2) dx
3
=[2lxjlx-3|+2x]'
=(2lq11-3|+2)-(2l1-1-31-2)
=
2log
-
-2 +2 2log |-4| + 2

ページ21:

=
2 log 2
= 2 log 2
= 2 log 2
= 2 lug 2
=
4
-
2 lug 4 + X
-
- 2 lug 2' + x
―
092 + x
2.2 log
4 log
2 log 2
2 +4
(答)

ページ22:

5
(1)
AOA B
|
|0B |
=
4
= 3
OA OB
=
k
2
|AB| = |03-0A |'
²
2
= 10B1-20A. OB + 10A1²
2
2
=
3
-
2k +
=
9
= 25
2k
A
0
-
2k
+ 16
H
0 AM t₤
[1]
cos LOBA =
い
| 0 | |² +
辺の とき
AB |² - 1º A² |
2||||
△OABは鋭角三角形より
2
0 <
J
0 < LOBA < 90°
cos LOAB < |
cos LOA B
> ○
10B | + | AR |² - 10A 12 >0
|UB | + |AB| >1011'
OB
2
3
+
(25-2k) > 42
+ 25 2k > 16
-24>16
・9-25
-2k > -18
k < 9.
2
2
| 0 À | ² + | UB | > | AB | *
[2]
ABが最も長
✓
・辺のとき
[1]
と同様にして
3
2
4
+ 3
> 25-2k
16+
9
> 25-2k
2k >
0
k > o
[112]より
o<k<9
(各)
B

ページ23:

-
(2)
O A =
OB
= とおく
実数stを用いて
OH
とおく。
=
AH
=
SOA + t OB
sā + t b
OH 0 A
-
=
=
sä +
tb
-
a
1)ā + t b .
AH LOB より
BH
=
11
{ (5-1) a
AH OB = 0
1 ) a + t b
(S-1) ä⋅ b
3 (1-5)
+
+ t ・3
(5-1)k + 9 t
-
ks
kr
OH
=
S
sa
11
=
+ 9 t
.
2
b
2
= 0
= 0
= 0
= 0
k
= O
+9t
=
k
-
O B
+ t b
-
+ (t-1) b
BH L
OA より
.
BH 0A = 0
{ să + (t − 1 ) 5 }
= O
s |ā |
+ (t −1 ) ā- b
= 0
.
165
165
165
+
kt
kt
+ (t-1) k
+
= 0
-
k
=0
=
k
A
H
3
B

ページ24:

xk
k's
2
+9kt
=
k'
3
x9
144 S
+
gkt
=
qk
(k
144) S
=
k² 9k
(1)より
ok<9
k-144≠0より
-
0 < k² < q '
2
144k-144 <81-144
2
-144ck
-
144<
63
k-sk
S=
k-144
② x16
③ x h
16ks
+
16ks+144t=16k
k² t
=
k²
(144-k³) t
k2_144≠0より
(k2-144) t
t
=
==
=
16k
-
k²
k-16k
k² 16k
144
①より
HO
=HO
2
k-gk
42-144
OA +
k-16k
k2-144
-
OB
(谷)

ページ25:

(3)
C 12
ABを
2
に
=
内分する点より
-
10A + 20 B
2 +1
2
=
OA +
OB
3
3
A
3点0,H, C "" 同
実数を用いて
(2)より
-
直線上より
OH = u OC
k² - 9k
k²-144
OA + O, OB + 0
k
2
k-16k
OA
+
OB
=
k2-144
3
なので
OA * OB
u
2
k
144
3
x 2
k² 16k
k2-144
=
2(k2-9k)
k²-18x
+
2
u
3
=
u
3
⑤ より
k²-16k
=
k2-144
k²-16k
4
☑
H
3
u
|-
2
× OA + 1½ u OB
3
216294)
k²
144
=
2 (k² - 9 k)
2
k (k - 16) = 2k (k - 9 )
(1)より
0< k < 9
ko より
k-16
21k
k-16 = 2k - 18
k-2k
=
-18-16
k
k
=
=
-
2
2
9)
B

ページ26:

④より
:
OH
=
L
2 9.2
22-144
4-18
4-144
-14
-140
=
=
1/3
ni
3
1/3
n
|a|-
3
10
u
400
3
10
=
n
=
| 2001 = 401
3
10℃1≠0 より
3
1201
OH
0 C
=
3
3
10
3
10
(答)
10
n
n