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〔2〕 cを正の定数として, 不等式 x *≧ (+) 3 . loggx≧ を考える。 3を底とする ② の両辺の対数をとり, t = log3 x とおくと ソ タ t+ タ log3 c ≧ 0 となる。ただし, 対数 10ga b に対し, a を底といい, 6 を真数という。 C = 39 のとき,② を満たすxの値の範囲を求めよう。 ③により t≦ チ t≧ ツ " である。さらに,真数の条件を考えて テ <x≦ ト となる。 x≧ ナ (3) (数学II・数学B第1問は次ページに続く。)
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数学Ⅱ・数学B 次に, ② x > テ の範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を 求めよう。 xx > テ の範囲を動くとき, tのとり得る値の範囲は で ある。 に当てはまるものを,次の①~③のうちから一つ選べ。 ◎正の実数全体 ① 負の実数全体 ② 実数全体 ③ 1以外の実数全体 この範囲のt に対して, ③がつねに成り立つための必要十分条件は, ヌ log3 c≧ である。すなわち, ハヒ である。 ネ
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〔2〕 指数・対数関数 X .log3 x X ● 自学 ②の両辺に、底3の対数をとると 3 cは正の定数 log3 x .log3 x X ≧10g3 C ② 整理して log3 x log3 x ≧3(log3 x-log3c) t = log3 x とおくと 2-3t+310g3c≧0 = 39 のとき、log3 c = log3 3/9 = log3 93 = log3 33 このとき③は f2-3t + 2 ≧ 0 もとに戻すと 右辺を底3の対数にすると 底3>1より 真数は正だから 2 ③ 2 =- 3 2 (t-1)(t-2)≧0 2 t≦1, t≧2 Z log3 x ≦1, log3 x≧2 log3 x ≦ log3 3, log3 x ≧ log3 x≦3, x≧9 0<x≦3,x≧9 32
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○xがx>0の範囲を動くとき、t (t=10g3 x ) のとり得る値の範囲は 実数全体である。 X ○上のに対して、③(t2 - 3t + 3log3c≧0)がつねに成り立つための 必要十分条件は、関数f(t) = t2-3t+310g3cの頂点のy座標が 0以上となればよさげ。 平方完成して頂点の y 座標を求めると 3 9 t² f(t) = t2 - 3t + 3log3c=(t-1)^ +3log c 4 頂点(1/2,310gsc-21) 9 4 よって 310g3c IIV 4 3 この対数不等式を解くと 10g3 log, c≥ 4 3 ・※ したがって log,c≧log,3 log3 c≧ 3 4 3 また、※で底3>1より c≧3 すなわち 4 c≧4/27
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