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一般解の第二項は非常にゆっくり減。 B,B2の大きさを符号によって3つに分けられる x t x t t (ii)抵抗が臨界の場合 B=wo aニーは重解 = x=uept. 定数変化法により x=u(t)epとすると i = u(t) e- ß³x + u(t) = (-3)=* +u(t)x(-ß) = - (LCA) - (1) ß) ept * = (Ü (A) - Ù (A) (³) eft +(a(t)-u()()×(-) ex = (uct)-2u(t)+t^)ept
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(1) β-wo,つまり Bwoのとき、
これは、抵抗が弱い場合に対応
2
8=1wi-βとおくと、
x= -ß±it
よって独立な解は
x₁= ė (-ß-io)*, x2=ė (-ßtio)t
=-(p+iost
したがって
e
x=Cxi+Czx2
=e-(p-irst
オイラーの公式
=ept(ciciox+cueiot)
Czecat)
€² = cos +isin
= EPA { C.(cos(-ot)+isin(ot))
+Czkosottisinat
not)}
= e^{(citc.) coset-(Ci-c.) simox}
{内について
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(ii) ß³- wö so, 7zy ß>workz つま 抵抗が強い場合に対応 > = ドームとすると U"-ß²-w' - λ=-3±2=-(B+~) (ß*~) 37070 3-070 一般解は、 正 x=Bieipotent この解は振動しないで減衰する + B₂e (p-ust " ただし、BDwoast. → 1 p-v=p-√p-wi - p- √(1-x) = - P -p (1-x) = = = p-p + w = = Wo 2 - won awo Wo 2 となるから.
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kx mmmmm m 運動方程式 0 bi mx = -px-bx X+*ßx+w:x=0 x=entとする。 λ = -3 ± √ √ B² - wo² 根の中のβームを (i) x 空気抵抗 x = -k →x m (23=1, with) (ii) (ii) 負、正、0で場合分け
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これらt x+2+=0に代入 x + ² ß x + w ° x = 0 1 = π tin (u(t) - Zix(t) ß³ + x)) ept + 2 (3³ (1/(x) - u(x) (3) e- pt :w." n(t) e-pt + ü = 0 ( Ü (t) + u(x) p² - 2ult) p² + woult)) eft =0 ü(±) - u(x² + w. f(x)) ep* = 0 (Ü よってU(火)=0となるので (B=w.) ù (t) = A, u(t)=At+Bを得る。 一般解は x= = (A+B) eßt 11 この減衰が最も速い
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&
- (C₁-C₂)
(CITCL)
0
{ } = As in (at + 0)
= A sin (rx + 0 + 1 - 1)
= A cos (ax + 0 - π )
=
A cos (attα)
t=0のときス=0ではないので、
cosの形式で表しておく
x=Aept
x = A ēpt cos (attal,
Aeft
減衰振動
t
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