ページ3:

Check
開P24 126 次の等式を満たすa,b,c,dの値を求めよ。対す改善 S
3a
3a+2b
za+1
=
ASTA
2c-d d+7
30=2a+1
131
3a+2b=b-2
zc-d=d-2・・
d+7=c+2d
②より ZC-2d=-2
b-2)
d-2 c+2d/
c - d = -1 . '
①より 0=1
a=1を②に代入して
3+2b=b-2
b=-5
④より
c+d=7
③'+4'2C=6
④'-'
2d-8
C=3
d = 4.
対角成分
A
0
教52 例2
したがって9=1,b=-5,C=3,d=4
対角成分以外の成分がすべてO
0
0
0
は対角行列
0
0-2
対角成分がすべてる 201
対角成分以外は 0
10
1 0は単位行列
T

ページ4:

⑨2 行列の和・差、数との積
P53
問3 次の計算をせよ
(1)
2 3
1-6
8
12+(-6) 3+8
+
-1
70.
+1+7 -1+0
-4.11
6-1
3 73
-2 3
(2)
+
-681
8
3 2
13+(-2)
7+3.
3+(-3)
4
=
1-6+8
12
A=1
10
11
6.
A = 123 - 1
-1-3
のとき、次の計算をせよ
(1) A+C
12+2-6+7-9+2)
A+C.(2+2)
(-3+ (-1) 1+7
-3+3,
8+3
1+2
3)
-9), B = (-22
C =
7-1
272
-173
413
-4
6
(2) A+B+C
A+B+C=(A+C)+B
4+1-2) 13+1 -7+(-2)
(ギャク
214-9
5
ち
6+(-1)80+5
No.
Date

ページ5:

間P21106 次の計算をせよ
41
0-2
1) (42) + (53)
14+5
1 + 3 X EHT
1-2-4
10+(-2) -2+(-4)/
94
-2-6
-2
(2)
-5
4)+1
1-2+(-4) 4+_
32
-5+3 1+2.
PE
1-685
-23
(3)
20
234
240
12+2.
+
3-12
(2+3.3+47 1+2)
144
526
0+4.1+0
=
(4)(2)+(4)-(a+1)
(7)
12+(-1)+3
(6)(145) +(31-1)
=(1+3 4+15+(-1))
= (454)

ページ6:

教P53 問5 次の等式を満たす大、y、zwの値を求めよ
-9.
10.
( x 2 ) + ( 2 w + 3 ) = ( -4 0 7 7)
ZW+3
x+22y-9
Z+1
10
2)=(17.7)
W-4
x+2=10.よってt=8
2y-9=リーク よってy=2
Z+1=-1
よってZ=-2
W-4=1
よって W=5.
801159
信
したがって7=8,y=2,x=-2,W=5+EA()
間P21107 次の等式を満たすえ,y,z, Wの値を求めよ.
3x-1
4
+
Z-1
4
-y+2
6
Z+4W+1
(+1)
6
12Z+1 ZW
3x-y+6
32
2W+1
37=6.
-y+6=1
3Z=Z+4
2-2
y=5
28=4
Z:2
(Z+A WH).
したがってx=2,y=5,Z=2.W=-3
教P53 問6 次の計算をせよ
2W+4=W+1
W=-3
(1)
-615
-3-78
(-6-(-3) 1-(-7) 5-81
-
別解
=
1-68
1-615
1.68)
+
37
-85 -1
(-6+3 17 5+1-8)
175118)=(
11+ (-8) -6 +5 8+ (-1))
8-5
1-8-6-1-5) 8-11
-3
8-3

ページ7:

教P536
-2
(2)-1
4
0-6
1-2-0
4-(6)1
6
-9
4
-1-(-9)
6-4
3
6
-4
0.
3-(-4)
6-0
-2
10
8 2
7
6
P21108
A=
14.
2
A = († 3 ). B = ( 3 -13). C ( 2 - 3 ) oct
次の計算をせよ。
(1) A-B = 4
12.1
13
1-2-3
=14-2-1-1
(1-(-2) 3-(-3)1
(32)
(2) B-A=2
(3))
4
(12/3)-(+)
12-41-(1))
1-2-1-3-31
2
(-3) 2)
-61
C= 3
A-B
=A+ (-B)
-2
(3)+(23)
23
(4+(2)-1+(1)
11+23+3,
=(2)
B-A
=B+(-A)
=(1/2)+(4-3)
=
=(2+1-4) 1+1
1-2+(+1) 3+(3))
1)+(2/3)-(233)
(3)A+B-C=14 -1
13
14+2-3
-1+1-(-2)
=
133
(1+(-2)-23+(-3)-(-5)/
2
-35
(32)
® A+B-Cola cont
=A+B+ (-O)
182=(43)+(2)+(23)
=(4-2-23-3+5)
2 (3/25)

ページ8:

教P54
問7 A= -3.2) B=
(24),B=10-14),C=(72)のとき、次の計算
をせよ。
(1) A+B-C=-32
=(-324) +1(12/21)-(132)
1-3+3-(-2) 2-1-1)
2-1-1)
(-2+0-(-1) 4+4-2/
2
-(3-0)
16
(2) A - B - C = (-3 2 ) - ( 3 ) - ( 1 )
-24
(-3-3-(-2) 2-(-1)-1)
(-2+0-(+) 4-4-21
-42)
-1-2
土
(3)A-B+C= (1/22)-(10/27)+(2)
-24.
(-3-3+(-2) 2-(+)
(-2+0 + (-1) 4-4+2
1-8 4
一数と行列の積
-3 2
A,Bは同じ型の行列で、bilを任意の数とするとき...
(1) P(A+B)=hAIhB
(複号同順)
(II) (PIL)A=RAIRA
(II) (kl) A = k (CA)
(複号同順)
12
Prt Sc
Pause Insert
Delete

ページ9:

教P54 問8 A.Bが2×3行列のとき、上の公式を証明せよ。
1921 A2z a23.,
all a 12 a 13
'A=
(I)
.), B = (b
0113.
bir be bir)
1bzi bax bus
•k (AIB) = k { (am az a²))
bi biz biz
\?
}}
(an. A12 AB³.) + (b2x B22 bz3).)
a23/
k (an I b₁ aiz ± biz α13±bB3
Az₁ ± √21. Azz ± boz a23 ± bz3/
k(an I b₁₁) k (α12 ± biz) k (α13 ± bis).
k (Az₁ ± bz1) klazz +b22) k (a23 + bz3)/
KAI KB = k ( an AR AB
=
され
= k (a" A₁₂ AB ) ±k (bil biz bis)
(A21 A2z a23/
bas baz baz.
1kb.
kai ka kao. I khi khi khi
kazı Kazz KA23!
kbz1 kb zz kb23/
: (k(ant bon) kar+bo) k (aus Ibis)
R
k (A21 ± √21) k (A22 +b22) k (A83 I≤23)
k(A±B) = kA± kB
5,7
(1) (k±l) A = (k+l)
(all α12 Ɑ13.
(021 022 023)
:( (hil)an (kil) az (kil) dis)
こ
(kl) Az₁ (kil) Azz. (ktl) Azs.
All Arz α13
(a"
KA I LA = k (an az (133) ± l (A121 Azz 0123
Ikan KAR Ka13.
(lave love lovs
Kazı kaz² ka23,
+
lazi lazz lazz
(k+l) A1 (k+l) A12 (kil). A13.
(kil) 04 (k+l) Azz (k±l)
F.7 (k±l) A - KAILA
=

ページ10:

(III)
(kl)A = (kl) (a".
(a". AR α13
(021 A2z. 023.
(klan klanz klas
1
kla21 kl Azz klα23,
ao)}
-k (A) = k {l (a" a 12 au)
1
21 22 23
kla", klα12 klα13
\kla21 klazz kla23
57 (kl) A = k (LA)
32
(2-3)
FP21 109 A = ( 3 3 ) . B = ( 2 - 3 )
でれを定数とする。h(A+B)とRA+B
をそれぞれ計算し、R(A+B)=hA+hBとなることを確かめよ.
k ( A + B) = k { ( 3 2 ) + ( 2 − 3 ) }
3.
B=
141
(4-2)
(4k
(6.2 -2k)
k A + h B = k ( å 3 ) + k ( b ≤3)
32
41
13k
2
k k
- (ak 26 ) + ( 4 )
k
16k -2k
)
3k
VE#\",\_k (A+B) = kA +kB
8A-AE (

ページ11:

教P55例題1
3-1
23
A
B=
32
-3-2
232) のとき、次の等式を
満たす行列 Xを求めよ
2(X-B)+A=X+3A
与えられた式を変形すると2X-2B+A=X+3A
したがって X=2(A+B)
3-14
- 2 { (3 - 1) + (8 3 3 ) }
(3/21)+(833)}
=2 (17)
62.14
116
-2-2
教P55間9
6-1-3
266
のとき、次の行列を
* FU19 A = ( 3 - 4 6 ) + 8 = (520) COMPLE
求めよ.
(1)
3-4
B=
L
6-1
3
( A + 3B = (266) + 3 (572)
3-41
12+186-36-9
3-15-4+61+0
120 3 -31
1-122
(366)-4 (320)
6-1-3
(2) 3A-4B=3
-520
6-24
18+4 18+12
9+20 -12-8 3+0
1-18 22 301
29
30)
-203

ページ12:

都間9 (3) (A-2B) + (2A+B)
=3A-B
3
13
66.
3-41
(A-87)
16-1-3
1-3 )
1-52
16-618+1
18+3
19+5-12-2
3+0
19.21
14-143
-
(4) (B-A) (3A-B)
-4A+ZB
リー
= -4 ( 3 6 6 ) + 2 ( 6 1 3 )
3-41
6-1-3
1-5200(A-8か
1-8+12-24-2-24-6
-27-6)
-12-10 16+4 -4 +0
14-26-30
1-22
20
-4
P21 110
14-5
3-2
A:15
0
B =
2 3
のとき、次の行列を求めよ.
-1
2
0
4-5
3 2
(1) ZA+3B=250
+3 2 3
1-12
/
0
18+9-10-6
10+6
10+9
1-2+3 4+0
17.
-16
16
9
4

ページ13:

181P21
116 (2) (3A+2B)- (5B-A)
=
-4A-3B
4-5
3 -2.
=450
-32 3
12
0
116-9
-20+6
20-6
0-9
-4-3
8+0
7-14
= 14
-9
(8-A8)
-7
8
(3) 4 (B-A)-3(2B-A)
=-A-2B
14-5
=
=-
50
- 2
1-4-6 5+4
-5-40-6
1-2-2 +0
11
=
-109.
-9-6
-|
-2
3.-2
-2
2 3
0.
( 4 ) — ( A + 2B) + 1 /= ( A-B)
=^+ B+ A- B
=
6
ZA
2
4-5
50
1-12
16+ ASO

ページ14:

教P5510
-2-2
2
A=
3-1
31 2
302
B=43-1 のとき、次の等式を満たす
303
行列Xを求めよ.
2A+3X=5B
X=1321-2A+5B)
3/31-213-1
4+15 4+0-4+10
1-2-22
30217
+543-1
312
3031
T
3
1-2+20
-6+15 2-5
-6+15 -2+0 -4 +15
19
13/3/18
73
9
19
53
4
6
9
-3
-2 ☐
A
43
N
6
10
3
3-1
2
☐
3
3
40
胴P2 |||
A
4-2
·°), B =
i).
33
-55-2 のとき、次の等式を満たす行列Xを
x+3A-2B-2x+4A
5X
X=1/2(A+B) 2B
33-1
- 3 (14-21 ) + 2 (333)
=
-55-2
求めよ
→次のページへ

ページ15:

check
i
3
7
10
3
-6
1+64 +60-2
4-10-2+10
2)
0-2)
1-4
-2
8
-3
10
3
3
8
-1
2) のとき、次の等式を満たす
-2 3/
4)のとき
1-34
24128 A= (25) - 2),B=1
25-2
行列入を求めよ.
(1)5X-A=2B+3X
X=1/2(A+2B)
こ
101)+2(
- 1 {( 101 ) + 2 (0 5 3 ) }
=
2
053
+-3
1 ( 1 + 0 0 + 10 1 +6 )
1/12+1
5-6
1/2(1170)
-16
(2) A +3B +X = 2(X-A+B)
1053
=3(252)+(952)
X=3A+B
13+00+53+3)
ン
(3+0
16-1-15-3 -6+4)
1356
=131222)
5
-2+8
No.
Date
A+3B+X=2X-2Atz
-X=-3A-B
X=3A+B

ページ16:

No.
Date
① 3 行列の積
教P57例3
157
20
-4
03
=
-31
2
(2×5+0x0-4×(-) 2X7+0×3-4×4)
(-3人5+10+2×(-1) -3X7+1×3+2×4
1-1.4.
教例4
114 -2
1-17-10
1×3+4×5+1×6
(1x3+ax
(4x3+2×5+1×6
29
128,
)
1141
421
6
(5) -
=
13
1260°
49
857
13×2+1×83×6+1×53×0+1x724
14×2+9×84×6+9×54×0+9×7.
114237
(20 69 63 )
(12)=(3从12/12)
14×14×2)
136
48
教P58例5
10
a12
A=az1azz
B=
bu be
のとき
031 023
Azz
b21 baz
1anbu+arbzamb+azbzz
AB=/azi bis + azz bzi Azibre + a2z bz2 = Zazaba Zazabdz
asbn+a32b21a31be+a32baz
| ZazRbk! Zazz brz/
Zaiabu Zaube
80

ページ17:

教5816 連立1次方程式(2x+3=6
14x+5y=7
は
(3)(4)(5)
と表すことができる
A=(2/2)x=(7) B=(7) とおくと、AX=Bとなる
例題A=(43)
3-6
A=(1/2),B=(1/2)のとき、AB、Bを求める
積の定義に従って計算すると
AB = (46) (³ 4 -8)
23
(4×3+6×(-4) 4×(-6)+6×8
(213 +3x(+4) 2x(0)+(x))
112-24-24+48
16-12
-12+24
-1224)
に
-612
BA- (3-3) (23)
=
-48
13x4-6x2 3x6-6×3
1-4x4+8x2 -4x6 +813.
112-12 18-18
16+16-24+241
00
( 88 )
00
Date

ページ18:

教P54 問11 次の計算をせよ。
3
(2-2)
4
/3/3+1x2 31+1×5
--2) (265)=4328241-2×5)
1118
(2)
32
13×(-2)+2×2.
2) (3) = (³× (-2)+212) (+) n
(-14)
-1×(-2)+4×2
-2
10
(3) (5-1)
(2)
(5xF-1x-2)
7)
112+10 1×1+1x5 13+100
21
(4)
5
05
(5)
1
2
3
050
4
=== 5x2+0x0 5×10×55×3+0×0
1x2+4×0 1×1+4×51×3+4×0
2
63
=10515
2213
2x1+1×5+3×12×1+1+0+3×4
10×1+5×5+0×1
(10
10 14
・250
13×43×0 3×5
| (6) -2 (405) = -2x4 -2x0 -2x5 =
1×4 1×0 15,
0x1+5x0+0x4
12015
-80-10
4 0
5

ページ19:

Date
22 112 次の計算をせよ..
0) (41) (23) =
(1)
(2)
3
-3
/4×3+1×24×1+1x3
1313+1×23×1+3,
( 14 7 )
1-3×1-2×(-5)
3-3) (1-2) = ( 3x1-2^(-5) 3 (2)-260
5 (2)
(3) (4-5)
(4)
0
5-3
I
(5)
-2
-2
0
4×1+1×1-5) 4×(-2)+1×0.
-(7-6)
=
17-8
(4×(-3)-5x0 4×3-5×2)
=(-122)
10×3+1×2
15×3-312
=(2)
ア
1×0+0×31×1+0×11×1-2)+0×1
=2x0-2×32×1-2×12×(-2)-201
1-1×0+2x3×1+2×1+(2)+2x1
01
-6-4-6
-2
6
1
4
1-13+5×21×(-3)+5×1 +×5+5×3
(6) (-5) () -³ 5) - (-181572
5) -
=
0x3+3×20×(-3)+3×10×5+3×3/
· (734)

ページ20:

No.
Date
Check
問P24 129 次の行列の積を求めよ
SIL
(1) (3-1)
(
$)
( 2 3 4 ) = (3x2-1x(-3) 3x3-1x(-1). 3×4-1×3)
(2)
(2)
-3-13,
= (9.10.97
(2-3-1) = (3/7232x-3)2×(-1)/
16-9-3.
14 -6 -2
14×33×2)
3x(-1)
(3)
14-3
24
2x3
6
14,
(4).
(3-1) (2)-3). (3r2-1-1) 3x (3)-(x0)
(4×25×(1) 4×1-3)5×0
(13-12
行列の積についての演算法則
A,B,Cは、次の和および積が意味をもつ任意の行列とし
hを任意の数とするとき
(I) k (AB) = (kA)B =ACKB)
(II) (AB)C = A (BC)
(結合法則)
(Ⅲ) A(B+C) = AB+AC
(分配法則)
(A+B)C=AC+BC

ページ21:

60 問12Aが3×2行列B.Cがいずれも2×2行列のとき(I)および(Ⅲ)
の第1式が成り立つことを証明せよ。
a11 012
(12)
A. (an and ), B- (bm be). C- (C. Can)
A= azz
(0.21 032/
とおく
bzi
bzz
C=
Jan AR
(1) k (AB) = k (azı Azz
) (b
'b₁ be
bz bz2)
1931 A02/
(ambi+a1zb21
011/2012 +A12b22.
=
= k|azb₁+azzb² a b₁₂+ Azz b₂z
\031 b₁+032b21 A3, b12 + A32b22/
k(amb₁₁+azb₂₁) k(amb + a12b22).
k (az bi₁ +azzbz)
k (azı biz + Azz bzz).
\k(a31b₁1 + A32b21) klar biz+a132/22/
10. Ae
bii biz
(kA)B = k α21 Azz
031 0321
Ika.. kaiz
1621 0221
kun kaz (b) biz)
\ka31 kα32/
I kan bi+karzbzı kambiz + kazbaz
kazıb₁₁+kazzbz kazıb12+kazzb22
kasb₁+ka32b21 ka31b12+ka32b22/
k(amb₁ +α1zb2₁) k (aubr₂+aRbzz).
k(a21b11+a22b21) k (azı biz +azz bzz).
(031b+.032/21) (a>, beta32b22),
Date
→次のページへ

ページ22:

112
→続き
a12
ACKB) A2 A22.
=
=
k (b
(bil b₁₂
bz1 bzz
1031 032
932/
Ch bint
(all aiz
= 021 022
\031 032
したがって
(111)
(kb.: kbp
kb21 kb22/
(kamb₁ +karbzı kamb₁2z+ka12bzz
kazby+kaz bu kazıbz tıkαzz bzz
kas, bu+kl32b2 karı biz +kazzb²²,
(klamb₁ +αizb₂₁)
k(amb₁₂+ α12b22)
k(azıb₁+azzb²) k (ab12+ azz b32)
t
\k (a31b11 +032b21) k (031 b12 + A32b22).
(AB)= (RA)BACKB)
All A12
A21 Azz (bi bi²) +
A(B+C)= az azz
\α.31 0.32/L
(b. b) + (cm) (12)
Car 912
(b + C..
b₁t C₁l b₁₂+ C12
a21 922
(21
\b₂₁ +Co b₂2 + C22/
a31 032
A₁₁ (bm + C₁₁) + A1 (b₂1 + (zi)) A" (b₁₂+C12) +α12 (bzz + Czz)
= Ax (b + C₁ ) + Azz (b² + (21)
· A31 (b + C₁1) + A32 (b21+ C21)
A² (α12+ C12) + A122 (bz2 + (22)
A131 (b₁₂+ (12) + A132 (b22 + (22)/
=
1011 912.
b.biz
AB+ACA2 A22
b21 bzz
1951 932
(all Ae]
'C₁ C₁₂
+
azi azz
C21 (22)
(2)
1031 032/
(amb +azbz1 a+be+arbzz
(a₁₁+12C21 A1, C12 +α12 C22
az bir + Azz bz azı biz+azzba
(amb₁ +032 b21 0131012 + 013263/
+
A21 C₁+Qzz Cz
az С12 +Ɑz C22
a31 C₁₁+32 C21 031 C12+12 (22
←
次のページへ

ページ23:

間口
→続き
22 113
/amb+a1z0z1+aCn+anCz)
azbz2b21+1+a22C2
asy beta32b21+a31 Cu + A32C21
a.(bu+cm)+ar(b+C21)
=az1 (bi+Cm)+azz (bzi+Ca)
931 (bu+C)+a32(b+Czi)
したがってA(B+C)-AB+AC
B=
anbo+apb22+aCz+able,
21b+azzb22+a21C12+xz Caz
asy b12+a32b22+3 Co+Q.szC22
an(b+C)+a(bzz+Czz2)
921 (b+Cz)+azz(boztCnz)
031 (bz+Cm) +0.32(bzz+Czz)
·A· (22). 8. (3) C² (24) 243.
=
とする。
(AB)CとA(BC)をそれぞれ計算し、(AB)C=A(BC)となることを
確かめよ。
(AB)C=
{(12/2)(3)}(2本)
1-4
24
(-1x(-2)+0x(-3)
2x(-2)+2x(-3)
-1×1+0×(-3)
2x1 +2x(-3)
(赤)(2)
12x1-1×(-2) 2×(-4)-1×4)
\-10×14×(2) 10×(4)-4x4/
4-12
=(4
-2 24
1-4
2
40
16
KA A A A A A
7-% oth
A(BC) (12/2){(ココ)(24)}
11
2.2
-10
22
-3-31-24
-2×1+1×(-2) -2×1-4)+1×4
3×13×(-2)
1-4 12 )
2) (34
32 0
4)+14 )
-3x(-4)-3x4
A
→次のページへ

ページ24:

こ
=(-11) (=4(2)
-x(-4) t0×3
・2×(-4)+2×3
3
-1×12+0x0
2X12+2x0
)
4-12
=
-2. 24
したがって(AB)C=A(BC)
教例題3 任意の行列Aに対して次の等式が成り立つことを証明せよ。
AE=A EA=A
ただし、Eはそれぞれの積が意味をもつ単位行列とする
(8)
A=(ais)が2×3行列の場合
100
anaizai
AE=
a2azzaz
0.
1.
0
60
EAC
(921 022² 1) = A
(1 o) (an arz Ab) - (an, Ups Abs
(゜)(anman
Aの累乗の定義正方行列Aに対して
027/
912 913
922023)
-A
AA, AAA, A'=A3A As An' A
特にAFOのときA=Eとする
教問題4 A=(23)のとき、ペッパを求めよ.
AP= (23)(23)=(272279)=(8/14)
2+62+9
11

ページ25:

Date
A:AA=
6113j=
34
(31) (23) - (212
811
15
1) (2 3) = ( 312 3132) - (2 47
J = (6-9), K. (80). L= (8 d) nez-
= net.
次の等式を証明せよ。ただし、Eは2次の単位行列とする
(1) J²=K²= -L² = E
10
J-(60) (10)
0+0
|-
=(1+0 +1 )
=
to 0t1.
- (i) =E
2
(i) (°-7)
10
0-10+0.
10+0 \ to]
(69)
=(60)=E
=
-K·(i)(°!)
LEAD; 7 J²= K²= -L² = E
=
10+1.0+0.
10+0 1+0.
( ŏ i ) = E
41
2次の単位行列
→2×2行列
(69)
10.

ページ26:

教P6113 (2) LJール=K
LJ = (i. -J) ( ! - i)
=
-(0+0 0+1)
=
- (°6) · K
したがってLJ=-=K
(3) KJ = JK = L
10
KJ = (i ! ) ( 69
0-1
(0+0 0+0)
- ( ° - ) -L
=
)
したがってKJ-JK=L
(4) KL-LK=J
KL-101
(id)(i)
10+10+0
Oto -
-JL-(1-0)/0+)
=-(0+ 0 0 + 0)
-=- ( 9 + )
= (° 1 ) = k
-JK - - (10) (01)
(6)(0)
(0+01+0
10-1 0+01
· (4 6 )
= (i 7) - L
=
- LK = ~ (° ~ ' ) ( i ! )·
10-1 0+0'
10+0
+3
- (69) - J
LENT KL-LK=J
=-(-10)
-(6-9)-J

ページ27:

22114
A³ =A²A
A= (14) のとき、パパを求めよ.
A = ( 14 ) (14)
= (1+4 4-4)
- (59)
05
(5号)(14)
(50200)
0+5
5
20
5
0-5.
数61 間AA=(2-4), B=(6-1)のとき、次の計算をせよ
A2-B2-
24/24
41
1) A²- B² - (≤ 2 ) (3 2 ) - ( - ) ( )
(3-2)
14+128-8
32
116to 4-
16-6 12+41
0 +0 071
- (61%)-(163)
0
-3
Date
B)
151
24
(2) (A + B) (A − §) ={( 4 ) + ( 6 ) } { (3 ±) - (64)
-2
= (35) (33)
3-1
(-12+15 18-5)
1-6-9
3 13
9+3
(11/12)
15
:
124
3-2
ELLARY

ページ28:

22115 A=(312) B=(0.0)のとき、次の計算をせよ、
(1)(A+B)2A+B=(1/2)+(0,0)=(43)
(A+B)= (A+B)(A+B)
=(43)(13)
=
1+4 1+3
5.4
171613
(2) A2+2AB+B2
==
=
(2)(32) +2 (32)000)+(0.0)(00)ポーチ
11+3 1+2
(348 342) +
10+10+1
+2
0+2 0+2
10+0.0+0
)+100
=(43)+2(2/2)+100)
97
(4 + 2 + 0 5 + 2 + 0 )
9+4+1
65
1412
7+4+1
(3)(AB)2=(AB)(AB)
=(22)(22)
=
(1+2 +24)
・2+4 2+41
33
(22)
66
0+1
(8 - A) (+A) A
(2)より AB=(1/2)

ページ29:

Date
(4) A'B2
=
143.
97
=10+3
=
0
0+3
03 )
0+70+7
3.3
77
(5) A2B=143
97
00
10+30+3.
.0+70+7
33
(予)
0
(20 A² (47), B² = (90)
(6) ABA = ( 3 2 ) ( ¦ ¦ ) ( ³½³ 2 ) | 2) +1 (56)
32
=(12)(12)
11t31+2
12+62+4,
3
32
=
143
186
巻P61
例7 (2)(3-3)=(00)
26
13
126
(73) (2-3)は雰因子である
1.3
より

ページ30:

A²
03
=
数162 問15 A= (00), B=100)のとき、A=B=AB-Oであることを
証明せよ、
A101
A²³ (06) (0)
00
= ( 0 0 )
000
AB = (01) (03 )
00
(80)
00
したがって A'=B2=AB=0
03 03
·B² ( 0 3 ) ( °³ ³ ³ )
00 00
-(88)
BPZ2116A2(82) B=(03)のとき、次の計算をせよ
A= 32
(1)
=
132
on AB - (33) ( 0 ) )
00
03+6
(o
0
3+6)
09
- (0%)
3.2
(2) BA = (03) (03 )
00
= (o゜)
00
AA

ページ31:

|6216 AB=AC, Aキロであっても、B=Cとは限らないことを、次の行列
間2117
について確かめよ..
21
(242) B=10
10
=
00
A= ( 42 )· B₁ (13) · C• (29)
AB-(2110)
12+00+3
=120
(4 + 0 0 + 3 )
14
=(23)
46
03
AC=121)100)
(22) (23)
=10+2013)
10+4 0+6.
123
=
14
46
したがって ABACであるがB=Cではない
PREP 2 117 A = (₂ = '), B = ( ½ 4), c. (~1 +) arz.
(22)
次の計算をせよ、
2
(1) AB-(12/22) (24)
25
Date
11-24-5) OSA
1-24-5AA
(71-22
12+4 -8+10/
-3-1
1 - 3 22
(2) AG = ( 1
2 ) ( 2 )
1-1-2-1+0°
2+4 2+0.
1-3-1
13
2

ページ32:

ab
本間17 A=(CD)のとき、ペニ〇となるための条件を求めよ。
A²= (a b ) (ab)
a+bcab
ac
bc
AOとなるための条件は
a2+bu=0
Sa²+bu = 0
ab=0
.ac =
=0
bc=0
④その上代入すると02:0
15.0
D
④
P22118
a:0
a=0のとき②は任意b.Cで成り立つ
したがってA20となるための条件は
a = 0π17 b c = 0.
A=(ab)のとき、A=0となるためのa,b,dの条件を求めよ
a
b
a.b
A²= (o do d)
102ab+bd
0
d2
A2=0となるための条件は(a2= 0
①
①より a=0
③ より d=0
ab+bd=0.
82=0.
…③
a=d=0のとき②は任意のb.cで成り立つ
したがってA2=0となるための条件は
a=d=o

ページ33:

④ 4 転置行列
教 2 間 18 次の行列A.B.C.D.E.Fの転置行列をつくれ
2-3-6
A=1752
25
tA=
54
-1
-3.4
-6-1
3-6-5
B=1.4
41
0
34-1
1-1-60
+B=-61
+6
-500
062
C
=
-60-5
0-6-2
-2.5.
0
t=16.05
50.
D
=
1
-4
5
5D=(1-4.5)
100
00
+E =
0 l 0
E =
0 l
0
001
001
F=(435)
+F=
435
4
Date
転置行列の性質
行列A、Bについて
(I) (+A)=A
(II)(A)=hA (hは任意の数)
(Ⅲ) A,Bが同じ型の行列のとき(A+B)=+A++B
(IV) 積ABが意味をもつとき(AB)=5BEA

ページ34:

間P23 119 次の行列A,B,Cの転置行列をつくれ・・
-8-4
(1) A = ( - ³ ³ ±²)
3
+A = (-44 33
11-8506
(2)
41
B₂
20
+ B = (425)
103
53
(3) C = (613)
6
+C = -1
3
数63間19 A,Bが2×3行列の場合に(I) (II), (Ⅲ)を証明せよ。
A=
( a. az a3 ), B = (bu, be b₁s) & tic
(I) t\tA) = + { tam am Oris
13
azi azz Azz
t/all Azi
by bu ba
=
A12 Azz
0
00
AB 23
All az a 13
Can
a21 A2z a23
したがって(A)=A
=A
(II) + (kA) = + {k (a." A 12 A13 ) }
azı
022 0231)
t/kan kaız ka13
kazı kaz² ka23
A = (AD) ³ (
'ka" kazi \ IR TO A C
KA 12 KA²²
kα13 kα23)

ページ35:

A1963 PB 19
→続き
k² A = k + ( An Aiz AB ) of 5-)
az
azi Azz Ɑ23
all azı
=
k
012 Azz
013 0.23
Ikan kazı
=
ki aiz kazz
ka13 ka23
したがって(RAD=R+A
t
012 013
biz bB
(x) + (A+B) = = { (On Ou Os ) + ( br br bo
=
/
Az
alas)
Azz
+(autbu ar+biz AB+bB.
azı+ bu azz+b22 023+(23)
· All + b₁₁ azı + b₂i
A12 +b12 Azz.+b22
ナ
0.13 +13 023+b23,
) {}
+ A++ B =
(all A12 α13
+
t (b₁ biz bis \
\azı a2z a23/
b₂ bzz 623.
1a a21.
b₁ ba
=
A12 Azz +
biz bzz
a13 a23
b13. 123/0
(a+b₁ lb
1a" + bu azi+b21
=
AR2+ bz azz + b²²
1a13+013 923 +b23.
したがって+(A+B)=A++B
Date

ページ36:

163 20
A = (4-3), B = (-² 3) ott. *(AB), *(BA), *A*B,
A=14
-2
*B+Aを計算せよ。
*(AB) = #{(1863)(72)}
03
4
t
-8-2.
12-8
七
=
0+3 0+12
*(-14)
12,
1-10.
3
t
4.12
t
1-2
+ (BA) = = { (2 3) ( 43 ) }
-
1403
-8+0 4+9
4+0 -2+12
+1-813
13)
4 10
-84
(134)
13 10
A + B * (13) * (72)
=
03
14
"
40
-2
34.
-23
1-8+0.4+0
4+9=2+12/
-84
(181)
13

ページ37:

間123
tB tA=
-2
(4-2)
03.
-21
40
34-23
-8-20+3
12-80+12/
1-10.3
412
23
I
120 A=(33) B-(1)のとき、次の計算をせよ
31
23
(1) A + B = (33) + (1)
144 B
23
土
= (³ ³) + (40)
(34)
t 23
(*(AB)={(33)(10)}
t/2+3 -8 +0
±
3+1 -12+0
(5-8
4 12
5.4
1-8-12
)
(A)*
Date
30

ページ38:

(3) *B*A =
t/23
=(1-8) (33)
31
-(46) (33)
12+3 311
-8+0 -12+0/
54
1-8-12)
t
5 (233) (1-4)
31
23
- (31) (40)
(4) +A+B =
2-12
2+0
3-4
3+0
Check
=(13)
124 130 A= (24) B=(120)のとき、次の計算をせよ。(
13
(1)5A+B=2(7-3)+
47-3)+2(128)
20
(ふう)+(2)
3-1
=
-23
2-4
(2) ± (AB) = { (33) (22)}
13 -20
+ (2 + 8 4 + 0 )
(7+2+0

ページ39:

=(1/64)
-5 2
-(105)
4 2
t
(3) *BA = (1/20)(2-3)
(2)(243)
12+8
t
1-6.
4+0 2+0,
10 -5 )
4
2-4)t/12
(4) + A+B = = ( 2, 3)² ( 20 ) s
21
=(243)(23)
(2+2 -40 )
\-4+6 8 +0.
4-4
2
8
No.
Date
23-1
例8
(42)
3-34
は対称行列である。
1-14-5
03
(2-2) -304 は交代行列である。
1-40
対称行列
*A=Aを満たす
正方行列A
友代行列
5A=-Aを満たす
正方行列A

ページ40:

教P64 21 2次の正方行列A=
2次の正方行列A=(Cl)について、次の問いに答えよ。
(1)Aが対称行列であるための条件を求めよ.
ac
$A=(8g)
bd
Aが対称行列であるための条件はEA=A
drams (a c) = (ab)
すなわち
よって
aza
A
c=b
b = c
d=d
..②
③
... ④
①,④は常に成り立つのでAが対称行列であるための条件は
b = c
(2)Aが交代行列であるための条件を求めよ
Aが交代行列であるための条件はA=-A
$75 (ag) = -(ad)
すなわち(G
(ac)
bd
-5,7 Sa = -a
C=-b
"
①
②
b=-CB
-a-b)
-c-d
d=-dXCL
①より 9:0
④ より d=0
よって、Aが交代行列であるための条件は
a=d=0, b=-c
• A GA
81

ページ41:

Date
P23121 3次の正方行列A
こ
35-7
a-2 b
C
4.
xy3
B=1-10Zとする。
W-20
(1)Aが対称行列のとき、a,b,cの値を求めよ。
Aは対称行列なのでtA=A
t/35 71
35-71
a-2 b
こ
a2b
C
14
14
3
a c
35-7
5.-2
a-2b
-7b4
C141
したがって a=5,b=1,C=-7.
(2)Bが交代行列のとき、てっそ、2.Wの値を求めよ
Bは交代行列なのでtB=-B
t/ x y z
-10Z
w-20
x-1 w
y0-2
x y z 1
= -
-1.0.Z
+20TPINE
1-x-y-3EMAIL
1.0-Z
3 Z
0
-2520
スニー
y=10
270=0
Z:2
x=0
ws=-3
したがって、x=0,y=1.Z=2.W-3

ページ42:

No.
Date
Check
FR124 131 | A = (³ - 2), B = ( 2 ). C = (0, 0). D =( 0 1) S
A=(3-2) B=(27) C-100)06/0
02
FA= (-2) tB=(27)
のとき、次にあてはまるのはどれか
+C = (80) D-(69)
(2)
(1)単位行列 D
(2) 対称行列 A,C,D
(3)交代行列 B,C
(4) 対角行列 C.D
(5) 正則行列 A,B,D
.
·
tA=A, +C=C, +D=D
(3) tB = -B₁ + C = C
") (= (0°), D= (88)
対御成分」が0. ★正則行列を
(5)A
3(-2)-1x1 = -7±0
A- (ab)
(6) 零行列 C
C
B → 0x0 −(-2×2) = 4 +0
0x0-0x0=0
a
ad-bcto
D
1x1-0x0=140
84 例題5 Aが正方行列であるとき、次のことを証明せよ
(1) A++Aは対称行列である
+(A+)=+A++(A)
ATA
A++A
おってA+Aは対称行列である。
(2) A-4Aは交代行列である
+ ( A - +A) = + A - + (+A).
2
*A-A
=-(A-A)
よってA-5は交代行列である
転置行列の性質
+(+A)-A
* URA) = k*A
+(A+B)・A+*+B
+(AB)=B2A
対象行列
$A=A
交代行列
TA-A

ページ43:

教P64 問22 正方行列AとBと任意の数れ、lに対して次のことを証明せよ
(1) A,Bが対称行列ならば、RA+lBも対称・行列である
A,Bは対象行列なのでA-A, B=B.
これを(RA+&B)に代入すると
© (kA +lB) = t (k + A + C + B)
= k = (³A) +l²² (²B)
=RA+lB
したがってA,Bが対称行列ならばRA+lBも対称行列である。
(2) A. Bが友代行列ならば、hA+lBも交代行列である。
A,Bは交代行列なので+A=-A,B=-B
これをCRA+CB)に代入すると
+ (kA +(B) = k + A + l kB
=k⋅(-A) + l(-B)
-KALB
=(RA+B)
したがってA、Bが交代行列ならばkABも交代行列である。
間P23122Aが対称行列ならばA2も対称行列であることを証明せよ。
check
Aは対称行列なので+A=A
* (A³) = *(AA)
=*A*A
=
AAC(C)
=A²
したがってAが対称行列ならばAも対称行列である
P24132Aが代行列ならば、A2は対称行列であることを証明せよ。
Aは友代行列なのでtA=-A
+ (A²) = ±(AA)
= tAtA
-(-A)(-A)
したがってAが交代行列ならば
=A2
※2は対称行列である

ページ44:

満6723 (2) (242)
2×2-1×4=0よって正則でない
(3)
» (69)
1×1-0x0=10.よって正則
逆関数は(19)
胸P23123 次の行列は正則であるか、正則のときはその逆行列を求めよ.
(1)
(
No.
Date
(2)
502) 5×20×0=10キロよって正則である
20
逆行列は市(7号)
10 05
5×1-(-1)×(-2)=30よって正則である
逆行列は言(25)
(3) (12/13) -2×(-3)-1×6=0よって正則でない
67例題6 A= (-23), B=(3) (=(-12)のとき
(1)AX=Bを満たす列ベクトルメを求めよ
(2)YA=Cを満たす行ベクトルとを求めよ
A-1×1-3×2=-7
Aは正則でA+--(23)=方(23)
(1)AX=Bの両辺に左からAを掛けると
AAX=AB すなわち Ex=A+B
したがってX=EX=AB=1(23) (3) -
-3-3
(
・列ベクトル
20mx行列
1b.
bi
\bm/
・行ベクトル
LIxN TIT
(a, az
an)
AAAA+E
AE=A, EA=A
・
(2)は次のページへ!!

ページ45:

教P67例題6 (2) YA=Cの両辺に右からAを掛けると
したがってY=YE CAT
5(23)-/7/15-1)
・15
YAAT=CA+すなわちYE=CA+
(12)
Y=YE=CA+=(-12)
教P6824A=(45)、B=(1/17)のとき、次の問いに答えよ
(1)AX=Bを満たす行列Xを求めよ
4×35×2=2:08 Aは正則 A'=1/(3-5)
AX=Bの両辺に左からAを掛けると
A-AX=A-B すわちEX=A-B
X=EX・A+Bより
x=1/2(3/27) (+)
X=
24
11-3-5-15+35
22+4 10-28
2
11-820
6-1810
-419)
3
(2)YA=Bを満たす行列Yを求めよ
(
2-24
YA=Bの両辺に右からAを掛けるとYAA BAY すなわちYE=BA
Y=YE=BAより
Y =
=
2
13-5
1-72-24,
-3+10 5-20
3t.14-5-28/
7-15
(17-33
232
722
33

ページ46:

30
P23124 A=(2-2) B=(3/12) のとき、次の問いに答えよ。
1-12
(1)AX=Bを満たす行列Xを求めよ
3×(-1-0×2=-340よりAは正則 A
AX=Bの両辺に左からAを掛けると
A-AX=A+B すなわちEX=A-B
X=EX=A-Bより
x=15 (23) (32)
X=
-
3+0 -1+0
= 1/3 ( )
6+3-2-6
3
+
3
9-8
-1/2(23)
1-10
=5(23)
Date
(2) YB=Aを満たす行列Yを求めよ.
3X2-(+1)×(-1)=540円) Bは正則 31
B=13/3 (73)
YB=Aの両辺に右からBを掛けると
YBB=AB すなわち YE=AB+
Y=YE=ABより
Y=1320) 3(73)
116+03+0
514-1
ち
6.
3
3-1
2-3
(HA) (D

ページ47:

Date
教P68例題 7 同じ次数の正方行列A,Bが正則であるとき、ABも正則で
(AB)=B+A+
であることを証明せよ
仮定より A,B+が存在する。このとき
(AB)(B+A+)-A(BB+) A+
=AEA+
=AA1
= E
(B-1A-1)(AB)=B (AA) B
= BEB
=BB
= E
したがってABは正則であり、その逆行列はBAである
激 25 A= (23) B=(527)のとき、次の行列を求めよ
(1) (AB) =
=
(5 +3 2+ 1) "
110+94+3,
(
8 31
7
(171933)
ーク
19-8
8
8×7-3×19
=56-57
AAAA+=E

ページ48:

1-12
教P6825 (2) B-1A-=
(3-2) (132-1)
1-3-4 1+2
(9+10 -3-5)
-73
19-8,
-12
-
(3)A-B1=(3-1) (3/25)
=
-2 3-51
1-3-3 6+5)
2+3
-6 11
5-9
-45)
No.
Date
B=(537) 5x1-243=-1
B1=-(13)=(3323)
A=(23) 1x3-112=1
A-1=
(3)
02
FP23 125 A= (87) B=(2-3)のとき、次の行列を求めよ。
(3
10215-3
2
-
(1) (AB)"' = {( 9 2 ) ( 5, ³) }
{l
(0+4 0-2)-7
(15-2 -9+1
4-217
(
13-81
11-82
61-134
"
まと
4×1-8) +2×13 =-32+26=-6
6
- + (3-3)
8-2
13-4

ページ49:

Date
-13
P23125
(2) BA-1=
〃
(23)/(37)
6
12
B=(53) 5x-1-1-3002-1
B=(2)
30
1/1 +9 -2+0.
6-2+15-4+0/
8 -2
13-4
12
(3) A B₁ = — ( 13 ²² ) ( − 2 3³ )
30
-2
11-1-43+10
= 51-3 +0 9 +0,
-5 13
A=132) 0-2×3=-6
-2
-30
112
・1/(3)
30
=
61-39
Check
FP24133 A= (3-2), B=(3,-?)のとき、次の行列を求めよ.
S
(1) (AB)" = {(!~~})(³} ¯}}}
= ( 3+2 -2-2)-1
(372
\94-6-4/
5-4
活
-10.
-104)
に
2 -13 5.
2 11-4
に含
(2) B+A1=(13) 12/2(37)
1-4-6 2+2)
11-104)
2 1-135
2+3/3)
*"
-50 +52
5X1-10)-1-4×13)=2
3×1-(-2)×(-1)=1
B1=(13)
1×1-4)-1-2)x3= 2
A=2(1)
こ

ページ50:

_4133 (3) A+B
=
1/2(-4+2 -8+6)
-3+1.
-2-2
-6+3
=/(1/2/3)
-2-3
練習問題 1.A
No.
Date
C=
(432)
教P69 1. A=
に
625
47-1
B = ( 3 4 3³), c = ( 4 3 2 ) as
48
のとき、
次の計算をせよ、
(1) 2A+B-3C=2(475)+(24-2)-3(782)
=
=
12+3-12 4+4-24 10-3-21
(12.73
18+4-3
14 +1-9-2+6-61
21)
3-16-14
6
-2
(25)-318423)+2(487)
(2)A-3B+2C=147-
16-9+82-12+165+9+14
14-12+2 7-3+6 +-18+4
5628
1-6 10-15,

ページ51:

Date
P69
14
2. A=36
26
5
B=-31 のとき、次の等式を満たす行列を求めよ
14
(1) 3X+2B=X+6A
2X=6A-2B
X=3A-B
14
151
X=3
=3136
31
26
14
A · I M M T U
LAS
X+5A+ZB=3X+9A
-2x = -4A+2B
X=-2A+B
3-5 12-1
19+3 18-1
16-118-4
-2
"
1217
514
(2)X+5A+2B=3(X+3A)
X=-2A+B
114
-236+-31.
51
126
14.
1-2+5-8+1
-6-3-1241.
4+1 -12+4/
21
3-7
-9-11
-3-81

ページ52:

3. 次の行列の積を求めよ.
4 30
04.
(1)
34
-2 21
4
-2
0+3+0 16+9+0 0+12+0
B-1-84-3+00-4-2
0+2+4 -8+6+00+8+1.
3.25 12:
-91-6
6-29
0-201-25
84
24+20 0+16 8+20
(2)1-5
14-1
130
545
3-25
=
12-50-44-51
44 16 28
-22-20-24
7-4-1
4.次の行列は正則であるか、正則であるときは、その逆行列を求めよ.
3-2
(1) A = (³93)
-96
3×6-(-2)×(-9)=0より正則でない..
(2) B=
(27)
1X7-512:-3.10より正則である
逆行列はB= 117-5
3 1-21
5.行列(^-^)が正則であるための条件を求め、逆行列を求めよ。
正則であるため条件はax4-(-2)×6+0
4a≠-12
a-3
このときの逆行列は40+1(462)=4(01)16a
142
Date

ページ53:

Date
6. (§ §)
45
134
A(1-2):(774)を満たす正方行列Aを求めは
4×4-5×3=100×(-2)-11-1キロより正則なので
(45) 4-5)=
(3年)-(1)、(2)-(3)-(70)
\34)
34.
与えられた等式の両辺に左から(5年)、右から(0-2)を掛けると
A
11017.457
(3年)(4年)(2)(2)(65)(7)(1-2)1
\34,
EAE - (4, 5) (2-4) (21)
1-3 4/10
) (20)
18-5-16+012
1-6+4 12+0.
+2) (71)
3-16
1-2 12/
16-163+0)
30 )
L-4+12-2+0.
- 103
8-2
7. 同じ次数の正方行列A,Bに対して(A+B)(A-B)=A-B2が
成り立つための条件を求めよ
左辺 AA-AB+BA-BB
2
=
A2-AB+BA-B2.J
これが右辺と等しくなるための条件は
-AB+BA=0
したがって
AB=BA
(s)

ページ54:

練習問題1・B
1.次の等式を満たす2次の正方行列×を求めよ
x² = ( 644 )
求める行列をx=(ag)とおく
X²= XX
= (a b xa b)
(a²+bc ab+bd) = (64)
° (ca+c²
8.2 (a²+ b, c = 1
ab+bd=0
ca+cd=0 ... ③
bc+d² = 4
0-051 a²-d² = -3
A
ca+d)a-d) = -3 Fla+d to.
@}\b (a+d) = 0
a+d+F1 b=D
1 c(a+d)=0
a+d+811 C = 0
b=0 C=O & DEAλ
a² = 1.
a:±1
b=0,CDを④に代入 d2=4.
したがって
X =
d=±2
0
(62) (62), (12), (02)
-2
2. 行列A=(6C)について、次の問いに答えよ。ただし、ab.cは
正の整数とする。
(1)A2=3Aが成り立つように、a,b,cの値を定めよ
No.
Date
→次のページへ

ページ55:

EXP70 2
A = (ba) (62)
=(1+ab
Itabatac
1b the abic)
3A (33)
A-3人と成るための条件は1+90=3.
a+00=3a
1b+bc=3b
ab+c^2=30
ab = 2.0
trans (acc-2)=0·0
b(C-2)=0
・C2-3c+ab=D…
a,bは正の整数なので①より(a,b)=(1,2),(2,1)…⑤
①④ より C2-3C+2=0
(C-1) (C-2)=0
C=1,C=2
C=1のとき②、③は-a=0,-b=0となり⑤に矛盾する
C=2のとき C-2=0となるのでa,bは任意のa,bについて
成り立つ
したがって(a,b,c)(1,2,2),(2,1,27
(2)(D)のとき AnをんおよびAで表せ(ただし、れは正の整数)
A=3Aの両辺にAを掛けると A'=3A2
右のに3Aを代入すると
A3=3.3A
=32A
同様に A3=32Aより
A4=3A3
=
= 3.33A AE = AD
-33A
→次のページへ
EXP70

ページ56:

教P7024)
7020)
よってA=3A・・・①と推定できる
→続き
9203
これを数学的帰納法で証明する
[j] n=1のとき
左辺 =A'=A
13 = 3ºA =A
よってn=1のときは成り立つ
[ii] nhのとき、①が成り立つと仮定すると
Ah =3h-A
n = k+1azz Ak+1 = 3k+,
h=+1のとき
YAA
= 3k-1 A²
= 3k-1.3A
=3&A
= 3(k+1)+A
よってfe+lのときものが成りカフ
[i][ii]より、すべての自然数nについて①が成り立つ
したがって An=3n-1A
(2)別解 A2=3Aより
An=An-2A2 ←右辺にA=3Aを代入する人
=A7-2.3A
=3An-l
3 An-³A²
=
=3A7-331
=3² An-2
=32 An-4A2
=32A"-4 34
=33A7-4
=37-1A
AA= A

ページ57:

数P70
P70 3.
A(B)= (spig-sin)とおくとき、次の等式を証明せよ。
A()=
C) A (0) = A (-0)
COSO x cost- (-sino)\sino = 1 +0 5') I
A (D) = (Cost Sino
-Sind
A(-0) = ((os(-0) -Sin(-0))
Sin (-0)
0096-0)
6080
-(-sino)
-sino
COSO
1050
Sind
-sing cost,
COS(-6)=cost)
sin(-8)=-sing
よってA(タ)=A(0)
(3) A (α+1)= A(α) A(B)
Alα+B)= (cos(d+B) —sin(d+B)
=
(Solo+B)
Cos())
(cosαCosß-Sindsinẞ -(SindCosẞ + COSOLSinß)\
(cosa cosß - Sindsing
Sindcosp+ Cososing
Cosocosß-sind sing
| COSOLCOSB-sindsing -Sindcosß-cosolsing
\sindcosp+ costsing
COSαcosẞ-sindsing
A(α) A(3) =
(cosd -sind (cose - Sinẞ)
Isind cosα sinẞ COSB,
| caso cosß-sindsinẞ -cosαsing-sind COSB)
Sind CoSB + Losαsing - Sindsing + COSOL COSB)
(cosdcosß-sinasinß - Sind Cos/B -cosαsing"
-cosasing)
-Sindcosp+ cososing cos&cosß-sindsing
LEA;? A (α+3)=ACA(B)

ページ58:

Date
4Aが正則な行列のときも正則で(A)=(A-)
であることを証明せよ
Aは正則なので、行列Aが存在するので
AA=AA=E
FAに右から(A)を掛けると
+AчA") = + (A+A)
t
= E
E
+Aに左から(A-)を掛けると
+(A-1)+A=(AA-1)
=E
よって+A+(=(A-7A=Eとなるので
+Aは正則であり逆行列は(A-)となるので
(A)+=+(A+)
No.
5 nを正の整数とするとき、A=Oを満たす行列Aは正則でないことを証明せよ
Aは正則であると仮定すると、逆行列AM存在してAA=Eとなる
A^=ON'S (A')" ENISE A" (A+)" - O(A"')"
ここで左辺 =(AAA)(AA+A+)
M
個
= A A A (AA) A'A' A'
...
(n-1)個)
(n-1)個)
- AAA EAAA"
=
In-1117
(n-1)
ン
= AA AAA A
(n-1)
・AA-
=
E
(n-
また右=0であるからE=0となりこれは仮定にする。
よって行列Aは正則ではない

ページ59:

Date
No.
6. ある正の整数に対して、A=Oを満たす行列Aについて次の問いに答えよ
(1) (E-A)(E+A+A²+ ··· +An-1を計算して簡単にせよ
(E-AXE+A+A² + +A"-1)
-
= E(E+A+A² + ··· +A"-") - A(E+A+A² + ··· +A"-¹)
=E²+EA +EA²+ ··· +EA" -AE-A²- ... -Ah~) -A"
-E + A + A² 4···A" -A-A²-A"-" -A"
=E-A
=E-0
An=0より
=
E
(2)(E+A+A
+An-1)(E-A)を計算して簡単にせよ
(E+A+A²+ +A) (E-A)
= (E+A+A²+ ··· +A¹²¯`³) − (E+A+A²+ ···А"-")A
• E²+AE +AЕ+ ··· +A" E - EA-A²-A³-·-A^ -Ah
= E + A+ A² + ··· + ^^-1 - A-A²-A³- ... -A"
=E-An
=E-O
=E
(3) E-Aは正則であることを証明し、その逆行列を求めよ
E+A+A²+-- +A"-" = Brticε
(1), (2)}') (E-A)B = B(E-A) = E
よってE-Aは正則である。
逆行列は
(E-A)¹ = E+A+A² + ... + An-

ページ60:

Date
No.
Step up
ano
例題 A=(ab)のとき. An=(ODbp)であることを証明せよ、
数学的帰納法で証明する
(1)=1のとき A'=(08)=Aより成り立つ
rak
(ii)のとき成り立つと仮定すると Ah (oh b)
a
両辺に右からAを掛けると Aarl = (0) (0)
lako
・akt 0
したがってη=R+1のときも成り立つ
= (a + b)
(1)(ii)より、すべての自然数について成り立つ
134 A=29)とするとき、次の問いに答えよ。
(1) AAを求め、Aを表す行列を推定せよ、(nは自然数)
A-(10)(20)
-A² = A²A = (1 0) ( 20 )
A-A³A
(10)6 +
6
1t00ro
12+20+
-(40)
=
11+00+01
(412 6+1)
(69)
181
よって An=
10
と推定される
(8) (0)
zn
(2)前問の推定が正しいことを、数学的帰納法で証明せよ。
→次のページへ!!

ページ61:

P25
134
→続き
(2)=(7) ①を数学的帰納法で証明する
(1)n=1のときA(10)=Aとなり、①は成り立つ
cinalのとこ①が成り立つと仮定すると AM=(27)
10
両辺に右からAを掛けて AMA (20) (20)
e
2R
Ak+1 = /1
(2012°)
(2)1
したがって几=R+1のときも①は成り立つ
(i)(ii)より、すべての自然数について成り立つ
P25例題 行列A,Bが正則であるとき、次の等式を証明せよ
(1) (B-1AB)2=BA2B
左= (BAB)(B-'AB)
=B+A(BB AB
= B'AAB
= B¹A²В
=右辺
したがって
(B'AB)=BAB
(2) (BAB)=B-A+B
左辺 = ((BA)B)
=B+ (B-A)
=B "A" B
ン
右辺
したがって(BAB)=B+AB

ページ62:

P25 原題 (3) (BAB)"=B-1AB (nは自然教)
左辺 = (B+AB)(B-AB)
t
nu
(B-1AB)
=B+ABB AB(B-AB)・・・・・
(B+AB)
B+AAB(BAB)…(BAB) V-21日
=B+A'B (B-AB)...(BAB)
Date
No.
B-AB
(1-2)48
=右辺
のとき、次の行列を求めよ
135 A= (20). B = ( 35 -2 ) at
(1) BAB
*x(-2)-(-1)x5 = −1 +0+1 BB1oz B₁ = - (253) = ( } })
3-11/20
-BAB+= (3-2) (²
to
110-2
12-5-6+3
C 20-10.
(2)(BABY)
7-3
10-4,
-10+6
(nは自然数)
((BAB')" = (BAB" X BAB') .... (BAB')
= BAB "BAB (BAB) (BAB)
=BA²B³
=BA"B" (BAB)
(BAB)
1-53
ん個
>
BA" B
(h-2411
→次のページへ

ページ63:

No.
A- (20) R (20) (20) A²= (40) (20)
MIPS 135
(2着
バン(?)
0
140
- (89)
180
(BAB-1)" = BA^B-1
(3-1)/2m
5-2
13.2 -1/2
(5.2k -2/5
5
.3.2h+1 -5 -3.2"+3"
5.2n+1 -10 -5.2 +6
門P26例題 任意の正方行列は対利行列と交代行列の和で表されることを証明せよ。
正方行列Aに対してX=1/2(A+A)=1/2(A-2A)とおくと
x=1/2(A++(5A))=1/2(++A)=X
=1/2(A-(5)=1/2(A-A)=-1/2(A-A)=
これから入は対利行列、くは交代行列である。
またX+A+2/+2/A
2
A =A
P26136 次の行列を対称行列と交代行列の和で表せ
531
(1)
753
826
1531
+5311
578
753
=
352
826.
136
→次のページへ

ページ64:

INU.
1531) 1978
問26136 対称行列 1/2(A+A):2/21753+852
(1)
交代行列:2/21A-2A)=
1826/136/
1101091
10105
95 12/
5311
753
826
10-4-7
578
-
352
1136.
40
1
2
7-10
したがって
A
531
110109
10-4-7
T
753=210105+
210105+240
1
1826,
95121
7-10
1-5-1)
(2)1
1-4-1
-13
A=1/2(A+)+/(A切)より
1-5
1-4-1+-5-43
131
2-4-2
+ 11-5-1
1-4-1
--5-43
731
01-11
0-60
T
2-4-82
+
260-40A(1)
-222
1-2-1
=
-2-41
0
20
(税抜)
10-30
30-2
040.

ページ65:

P26 例題 Aをの沢正方行列、En次単位行列とするとき、次の問いに答えよ。
PPZ6
ただし、零行列はい次正方行列では2以上の整数とする。
(1)A-2A+E=0のとき、A-Eは正則でないことを示せ。
A-ZATE=(A-E)=0
A-Eが正則と仮定して両に(A-E)を掛けるとA=0
これは正則であることに反するから正則でない。
(2)A2-2A+E=0のときA-2Eは正則であることを示せ
(A2-2A)=Eより(A)(A-2E)=(A-2E)(A)=E
したがってA-2Eは正則である
(3)A-3A2+A+E=0のとき、A-ZEの逆行列をA,A,Eの式として表せ
多項式x3+x+1をスー2で割ると
プースー、余-1
となるから
間P27 137
オ-3才+x+1)=(x-2)(オ2-x-1)-1
これより A3-3A2+A+E= (A-2E)(A2-A-E)-E
同様に A3-3A+A+E(A-A-E)(A-2E)-E
A3-3A+A+E=0より
(A-ZE)(A2-A-E)=(A-A-E)A-2E):E
よってA-ZEの逆行列はA2-AE
oab
A=00c とするとき、次の問いに答えよ。
000
(1)A3=0を証明せよ
oab
A3=1000
000
00 ac
=
00 0
000
oab
000
0 0 0.
10 ab
10
(888) = 0
0
000
000.
0ab
O O C
000.
よってA'

ページ66:

(2)A+Eの逆行列はA-A+Eであることを証明せよ
(A+E)(A2-A+E)=A3+E
=E
(A2-A+E)(A+E)=A'+E
=E
よって(A+E)+=A2-A+E
Date
No.
a) A²=0702
開P27例題Aが対称行列、七Aが交代行列ならばAは零行列であることを
証明せよ。
Aは対称行列だからA=A
Aは交代行列だから(5)=-
これよりA=-=-AとなるからA=0
138 A,A+Bが対象行列、Bが交代行列ならばBOを証明せよ。
A+Bは対称行列たから
+(A+B)=A+B
Aは対称行列、Bは交代行列だから
+(A+B)=+A++B=A-B
よってB:0
AT-ATE
ATE
A3 TAF
RE-AETE
AT
+ E

ページ67:

Date
⑨ 5 逆行列
x=(12)のとき
*31015-1919 A= ( = 1 − 1 ), x = ( 1 2 ) αzz
AX = ( 3 4
7
- (69)
= E
) ( 1 2
)
XA=(1/2)(予)
-(2-2 1+2)
=(69)=E
同様にXA=Eが成り立つからAは正則でA(12)
2次の正方行列の逆行列
2次の正方行列A=(ca)が正則であるための
必要十分条件は
ad - b c = 0
このとき、Aの逆行列はA+=a-bc
od-oc (de to
31
教P67例10 A= (1/25)について 3×5-1×2=B40
A+
T 15-1
こ
よってAは正則で
1/(53)
B=(1/3-4)について
よって、Bは正則でない
2×(-6)-1-4)×3=0
教P67 問23 次の行列は正則であるか。正則とときはその逆行列を求めよ
(1) (2-3) 2x4-(-3)x(-1) = 5 +0 £7,FB)
逆行列は1/5(432)